הצגת המקור של משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11

=שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים=
'''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

==דוגמה 1==
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2+c</math> {{משל}}
# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}

=האינטגרל הלא מסויים=
'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: <math>F(x)=\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>

==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
זה שווה ל-{{left|<math>\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}

'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.

==דוגמה 2==
חשב <math>I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
===פתרון===
'''דרך א:''' מתקיים <math>I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את '''דרך ב:''' {{left|<math>\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}</math>}}
{{משל}}

ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.

----

'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>

==דוגמה 3==
חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
===פתרון===
נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. אזי האינטגרל הוא: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>. {{משל}}

<!--
'''באופן כללי:''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>m+n</math> אי זוגי, באופן הבא: נציב <math>y=\cos^\frac{m+1}2(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac{m+1}2\cos^{\frac{m+1}2-1}(x)\sin(x)\mathrm dx</math> ולכן <math>\sin^n(x)\cos^m(x)=</math>

אם <math>n+m</math> זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות, כמו
<math>\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2</math>.
-->

----

'''אינטגרציה בחלקים:''' <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.

==דוגמה 4==
חשב את האינטגרלים הבאים:
<ol>
<li><math>\int xe^x\mathrm dx</math>
===פתרון===
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}}

<!--
'''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון.--></li>
<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>
===פתרון===
נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>. {{משל}}</li>
<li><math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math>
===פתרון===
<math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>. {{משל}}

'''מסקנה:''' במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.</li>
</ol>

==דוגמה 5==
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\frac{3^x}{\ln(3)}\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}