הצגת המקור של 88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 2

== שאלה 1 ==
הוכיחו כי לכל קטע בעל מידה חיובית יש תת קבוצה לא מדידה. (הסתמכו על התרגיל הקודם).


== שאלה 2 ==
א. הוכיחו שקבוצת קנטור הטרנארית <math>C</math> (זו מהתרגול) היא קומפקטית.

ב. הוכיחו שהפְּנים של קבוצת קנטור הוא ריק (קבוצות כאלה נקראות "קבוצות דלילות").

ג. הראו שקבוצת קנטור '''אינה''' איחוד בן-מנייה של קטעים סגורים (סעיף זה מראה שקבוצה סגורה ב-<math>\mathbb{R}</math> אינה בהכרח איחוד בן מנייה של קטעים סגורים - בניגוד למקרה של קבוצה פתוחה וקטעים פתוחים)

ד. הוכיחו כי <math>\frac{1}{4} \in C</math>, למרות שרבע הוא אינו קצה של אף קטע בקבוצות <math>C_n</math> ('''רמז:''' נסו לפתח את רבע בבסיס 3).


== שאלה 3 ==
תהי <math>X</math> קבוצה כלשהי, ו- <math>\Sigma \subseteq \mathcal{P}(X)</math> אוסף תתי הקבוצות של <math>X</math> שהן בנות מנייה, או שהמשלים שלהן בן מנייה (כלומר <math>E \in \Sigma</math> או"א <math>E</math> בת מנייה, או <math>X\setminus E</math> בת מנייה).

א. הוכיחו כי <math>\Sigma</math> היא <math>\sigma</math>-אלגברה מעל <math>X</math>.

ב. נגדיר <math>\mu : \Sigma \rightarrow [0,\infty]</math> ע"י <math>\mu \left( E \right)=\begin{cases} 0&|E| \leq \aleph_0 \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases}</math>. הוכיחו כי זו מידה.


== שאלה 4 ==
יהי <math>(X,\Sigma,\mu)</math> ממ"ח.

א. הוכיחו שאם <math>\left( E_n \right)_{n=1}^\infty</math> היא סדרת קבוצות יורדת (כלומר <math>E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \dots</math>), ואם <math>\mu \left(E_1 \right)<\infty</math>, אזי
<math>\mu \left( \cap_{n=1}^\infty E_n \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \mu \left( E_n \right)</math>

ב. הראו שהדרישה <math>\mu \left( E_1 \right)< \infty</math> היא הכרחית.

בהצלחה!