הצגת המקור של 88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 6

== שאלה 0 (לא להגשה) ==
קראו בויקיפדיה על [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%A7%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%A8 פונקציית קנטור], ועל הדרך שבעזרתה בונים קבוצת לבג שאיננה קבוצת בורל (ובעצם מוכיחים ש- <math>\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subsetneq \mathcal{L}(\mathbb{R})</math>).


== שאלה 1 ==
יהי <math>(X,\mathcal{S},\mu)</math> ממ"ח, <math>f:X \to [0,\infty]</math> מדידה ואי-שלילית, ומקיימת <math>\int_X f \, d\mu=c</math> באשר <math>0<c<\infty</math>. יהי <math>\alpha>0</math> קבוע.

הוכיחו כי מתקיים <math>\lim_{n \to \infty} \int_X {n \log \left[ 1+\left( \frac{f}{n} \right)^\alpha \right]}=\begin{cases} \infty & 0<\alpha<1 \\ c & \alpha=1\\ 0 & 1<\alpha <\infty \end{cases}</math>

'''רמז:''' אם <math>\alpha \ge 1</math>, האינטגרנדים נשלטים ע"י <math>\alpha f</math>,

ואם <math>\alpha<1</math> ניתן להפעיל את למת פאטו.


== שאלה 2 ==

יהי <math>(X,\mathcal{S},\mu)</math> ממ"ח, ותהי <math>f:X \to [0,\infty]</math> מדידה <math>d \mu</math>. עבור <math>E \in \mathcal{S}</math> נגדיר <math>\nu(E)=\int_E f \, d \mu</math>. הוכחנו בהרצאה כי <math>\nu</math> היא מידה.

א. הוכיחו כי לכל <math>g:X \to [0,\infty]</math> מדידה <math>d \mu</math> מתקיים <math>\int_X g \, d\nu=\int_X g f \, d \mu</math>.

('''הדרכה''': הראו זאת בשלבים כמו בתרגיל הקודם - התחילו מפונקציית אינדיקטור, וסיימו בפונקציה אי-שלילית כללית)

ב. באיזה תנאי פונקציה <math>g:X \to \mathbb{R}^*</math> אינטגרבילית <math>d \nu</math>?


== שאלה 3 ==

יהי <math>(\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}),\mu)</math> ממ"ח בו <math>\mu</math> היא מידת הספירה. פונקציות <math>\mathbb{N} \to \mathbb{R}</math> הן בעצם סדרות של מספרים ממשיים.

א. תהיינה <math>a,b:\mathbb{N} \to \mathbb{R}</math> הפונקציות המוגדרות ע"י  <math>a_n=\frac{(-1)^n}{n},b_n=\frac{(-1)^n}{n^2}</math>. מי מהן מדידה? מי מהן אינטגרבילית? חשבו את האינטגרל של האינטגרבילית מביניהן.

ב. תנו אפיון (תנאי הכרחי ומספיק) של הפונקציות המדידות <math>a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}</math>.

ג. כנ"ל עבור הפונקציות האינטגרביליות.

ד. מצאו ביטוי לאינטגרל של פונקציה אינטגרבילית <math>a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}</math>.

(שימו לב שתאריך ההגשה הוא בשבוע שלאחר חנוכה)

בהצלחה!