הצגת המקור של 88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11

[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

=דטרמיננטות=

'''הגדרה''' הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית <math>A\in F^{n\times n}</math> היא סקלר <math>det(A)=|A|\in F</math> המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

'''חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות'''

* הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 <math>A=(\alpha)\in F^{1\times 1}</math> היא הערך היחיד במטריצה <math>det(A)=\alpha</math>.

* הדטרמיננטה של מטריצה <math>A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}</math> היא <math>det(A)=ad-bc</math>.

למשל: <math>det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 </math>.

==חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)==

'''סימון''' עבור מטריצה <math>A\in F^{n\times n}</math> נסמן ב <math>M_{ij}</math> את המטריצה מגודל <math>n-1 \times n-1</math> המתקבלת מ<math>A</math> ע"י מחיקת השורה ה<math>i</math>  והעמודה ה<math>j</math>. זה נקרא המינור ה<math>ij</math> של המטריצה.

דוגמא: עבור <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math>למשל 
<math>M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}</math>
<math>M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}</math>

אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם '''פיתוח לפי השורה ה<math>i</math>''':

<math>|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|</math>

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם '''פיתוח לפי העמודה ה<math>j</math>''':

<math>|A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|</math>

לדוגמא:
<math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math>נפתח לפי השורה הראשונה:
<math>|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0  </math>

נפתח גם לפי העמודה השנייה:
<math>|A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0  </math>

==תכונות של הדטרמיננטה==

1. כפליות <math>|AB|=|A||B|</math>.

2. בפרט <math>|A^k|=|A|^k</math>.

3. <math>|A^t|=|A|</math>.

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).

5. אם <math>A</math> הפיכה אז <math>|A^{-1}|=|A|^{-1}</math>.

6. <math>A</math> הפיכה אם"ם <math>|A|\neq 0</math>.


למשל המטריצה <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math>איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין <math>|A+B|</math> לבין <math>|A|+|B|</math>. (דוגמא?)

===תרגיל===
נתונות מטריצות <math>A,B\in F^{n \times n}</math> כך ש <math>|A|=2, |B|=-1</math>. חשבו את <math>|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|</math>.

'''פתרון'''

<math>|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}</math>

===תרגיל===
תהי <math>B\in F^{3\times 3}</math>עם דטרמיננטה <math>|B|=-1</math>. מצא את <math>|2B|</math>.

'''פתרון'''

<math>|2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)</math>

'''בהכללה:''' <math>|\alpha A|=\alpha^n |A|</math>.

===תרגיל===
1. תהי <math>A</math>מטריצה ממשית והפיכה מסדר <math>n</math>המקיימת <math>A^4+2A=0</math>. חשבו את <math>|A|</math>.

2. נניח <math>A</math>מקיימת <math>A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots +a_1A+I=0</math>, הוכיחו כי היא הפיכה.

3.תהיינה <math>A,B</math> ריבועיות מסדר <math>n</math> ''אי-זוגי'' מעל שדה ממאפיין שונה מ2. נתון ש<math>AB+BA=0</math>, הוכיחו כי אחת מהמטריצות איננה הפיכה.

פתרון:

1. נעביר אגפים ונקבל <math>A^4=-2A</math>, נקח דטרמיננטה <math>|A|^4 =(-2)^n|A|</math> ולכן <math>|A|=(-2)^{\frac{n}{3}}</math>.

2. נעביר אגפים ונסדר <math>A \left( A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots +a_2A+a_1I \right) =-I</math>, נקח דטרמיננטה <math>|A||something|=|-I|=(-1)^n</math>. בפרט, <math>|A|\neq 0</math>ולכן <math>A</math>הפיכה.

3. נעביר אגפים <math>AB=-BA</math> ונקח דטרמיננטה <math>|A||B|=(-1)^n|B||A|</math>. נתון ש<math>n</math> אי-זוגי ולכן <math>|A||B|=-|A||B|</math>.
זה מכריח ש<math>|A||B|=0</math> ולכן או ש <math>|A|=0</math>ואז <math>A</math>לא הפיכה, או ש<math>|B|=0</math> ואז <math>B</math>לא הפיכה.


===תרגיל===
תהי <math>A</math>מטריצה ממשית אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי. הוכיחו כי היא איננה הפיכה.

'''פתרון'''
לפי הנתון <math>A^t=-A</math> ולכן <math>|A|=|A^t|=|-A|=(-1)^n|A|</math> מה שגורר <math>|A|=0</math>.

==שיטת הדירוג==

כזכור, לבצע פעולות שורה על מטריצה זה כמו לכפול במטריצה אלמנטרית מתאימה. מכיוון ודטרמיננטה היא כפלית, והחישוב הדטרמיננטה של מטריצות אלמנטריות הוא פשוט, נקבל את הכללים הבאים:

'''טענה''' תהי <math>B</math>מטריצה המתקבלת ממטריצה <math>A</math> ע" פעולת שורה, אזי:

1. אם <math>B</math> התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב<math>\alpha</math> אזי <math>|A|=\frac{1}{\alpha}|B|</math>.

2. אם <math>B</math> התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי <math>|A|=-|B|</math>.

3. אם <math>B</math> התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי <math>|A|=|B|</math>.

אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה (צורה שבה קל מאוד לחשב דטרמיננטה), ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.

'''דוגמא'''
<math>\begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222</math>

'''דוגמא'''

חשב את 
<math>|A|=\begin{vmatrix}a&1&1&\dots&1\\1&a&1&\dots &1 \\ 1&1&a&\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1& \dots & a\end{vmatrix}  </math>

פתרון
ראשית נסכום את כל השורות לשורה הראשונה ונקבל <math>|A|== \begin{vmatrix}a+n-1&a+n-1& \dots &a+n-1\\ 1&a&\dots &1\\1&1&\dots &1\\ \vdots &\vdots & \dots & \vdots \\ 1&1& \dots & a \end{vmatrix}</math>
נחלק את השורה הראשונה ב<math>a+n-1</math> ונקבל:
<math>|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\1&a&\dots &1\\1&1&\ddots&1\\ \vdots &\vdots &{}& \vdots\\ 1&1&\dots & a\end{vmatrix}</math>

כעת נחסר מכל שורה את השורה הראשונה ונקבל
<math>|A|=(a+n-1)\begin{vmatrix}1&1&\dots &1\\0&a-1&\dots &0\\0&0&\ddots &0\\0&0&\dots &a-1\end{vmatrix}=(a+n-1)1(a-1)^{n-1}</math>


===תרגיל===
נתונה מטריצה ריבועית <math>A\in F^{5\times 5}</math>, משנים את סדר השורות של <math>A</math>באופן הבא:

את השורה הראשונה שמים במקום השנייה
את השורה השנייה שמים במקום החמישית
את השורה החמישית שמים במקום הרביעית
את השורה הרביעית שמים במקום הראשונה

כלומר <math>A=\pmatrix{--R_1--\\ --R_2--\\ --R_3--\\ --R_4--\\ --R_5--} \rightarrow \pmatrix{--R_4--\\ --R_1--\\ --R_3--\\--R_5--\\--R_2--}=B</math>

חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת,<math>B</math>, בעזרת <math>|A|</math>.

פתרון:
את המטריצה החדשה אפשר לקבל ע"י רצף החלפות שורה: 
<math>R_1\leftrightarrow R_2, R_1\leftrightarrow R_4,R_4\leftrightarrow R_5</math>.

ולכן <math>|B|=(-1)(-1)(-1)|A|=-|A|</math>.

'''הערה''' מכיוון ו<math>|A|=|A^t|</math> מותר בחישוב הדטרמיננטה לעשות גם פעולות ''עמודה'' אלמנטריות, השינוי בדטרמיננטה הוא דומה.

==תרגיל==
נתון ש<math>\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=2</math>. חשבו את <math>\begin{vmatrix} i-4c&f&2i+f\\g-4a&d&2g+d\\h-4b&e&2h+e \end{vmatrix}</math>.

'''פתרון:'''
נשתמש בפעולות שורה ועמודה ונעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה:

<math>|A|=^{C_3-C_2} \begin{vmatrix}i-4c&f&2i\\g-4a&d&2g\\h-4b&e&2h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{2}C_3}2\begin{vmatrix}i-4c&f&i\\g-4a&d&g\\h-4b&e&h\end{vmatrix}=^{C_1-C_2}2\begin{vmatrix}-4c&f&i\\-4a&d&g\\-4b&e&h\end{vmatrix}=^{\frac{1}{-4}C_1}2(-4)\begin{vmatrix}c&f&i\\a&d&g\\b&e&h\end{vmatrix}=\dots =-16</math>

==== תרגיל מטריצת ונדרמונד====
הגדרה: יהיו <math>a_1,\dots a_n\in \mathbb{F}</math> סקלארים. מטריצת ונדרמונד <math>V=V(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מוגדרת להיות 
<math>V=\begin{vmatrix} 1&a_1&a_{1}^{2}& \cdots& a_{1}^{n-1}\\
1&a_2&a_{2}^{2}& \cdots& a_{2}^{n-1}\\
\vdots & & &  &  \\
1&a_n&a_{n}^{2}& \cdots& a_{n}^{n-1}
 \end{vmatrix}</math>

הוכיחו כי <math>|V(a_1,\dots ,a_n)|=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)</math>

פתרון:
באינדקוציה על <math>n</math>. בסיס: מוזמנים לבדוק עבור <math>n=2</math>

צעד:

נבצע
* <math>C_n\leftarrow C_n-a_1C_{n-1}</math>
* <math>C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-a_1C_{n-2}</math>
וכו' עד 
* <math>C_{2}\leftarrow C_2-a_1C_{1}</math>

לאחר מכן נוכל 
*להוציא גורם משותף <math>a_2-a_1</math> מהשורה השניה
*להוציא גורם משותף <math>a_3-a_1</math> מהשורה השלישית
וכו עד
*להוציא גורם משותף <math>a_n-a_1</math> מהשורה האחרונה

נמשיך לפתח  לפי שורה ראשונה ונקבל כי 
<math>|V(a_1,\dots,a_n)|=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot |V(a_2,\dots ,a_n)|=</math>
לפי הנחת האינדוקציה, נוכל להמשיך

<math>=\prod_{j=2}^n(a_j-a_1)\cdot \prod_{2\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)=\prod_{1\leq i<j\leq n}^n(a_j-a_i)</math>

מסקנה: מטריצת ונדרמונט הפיכה אמ"מ <math>a_1,\dots ,a_n</math> שונים זה מזה.

=המטריצה הנילוות (המצורפת)=

'''הגדרה''' תהי <math>A\in F^{n\times n}</math>, המטריצה נילווית שלה היא המטריצה <math>adj(A)_{i,j}=\left( (-1)^{i+j}|M_{ji}| \right)_{ij}</math>.

(שימו לב להחלפה בין <math>i</math> ו<math>j</math>!)


דוגמא?

===המשפט המרכזי===
<math>A(adjA)=(adjA)A=|A|I</math>

תוצאה: אם <math>A</math> הפיכה אז <math>A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}</math>.

===תרגיל===
תהי <math>A\in F^{n\times n}</math> מטריצה.

1. הוכח כי  <math>|adjA|=|A|^{n-1}</math>.

2. נניח כי המטריצה הפיכה, חשבו את <math>adj \left( adjA \right)</math>.

פתרון

1. ראשית נניח כי <math>|A|\neq 0</math>, אזי נפעיל דטרמיננטה על שני האגפים: <math>|AadjA|=||A|I|</math> ונקבל <math>|A||adjA|=|A|^n</math> נחלק בדטרמיננטה ואז <math>|adjA|=|A|^{n-1}</math> כדרוש.

כעת נניח <math>|A|=0</math> וצריך להוכיח כי <math>|adjA|=0</math>.
לפי המשפט <math>(adjA)A=|A|I=0</math> 

אם <math>A=0</math> אז ברור ש <math>adjA=0</math> לפי ההגדרה.
אחרת, יש איזשהי עמודה של <math>A</math>שהיא לא אפס, <math>C_k(A)</math>. ואז <math>adjA\cdot C_k(A)=0</math> מה שאומר ש<math>adjA</math> לא הפיכה ואז <math>|adjA|=0</math>.

2. נשתמש במשפט עבור המטריצה <math>B=adjA</math>, אזי <math>(adjA)\cdot (adj(adjA)=|adjA|I</math>. ולפי הסעיף הקודם נקבל ש<math>adj(adjA)=adjA^{-1}|A|^{n-1}</math>. ומכיוון ו<math>adjA^{-1}=\frac{A}{|A|}</math> אז <math>adj(adjA)=A|A|^{n-2}</math>.

===תרגיל===
תהי <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math>המקיימת <math>(A+I)^2=0</math>.

א. הוכיחו כי <math>A</math>הפיכה.

ב. הביעו את <math>adjA</math>באמצעות <math>A,I,|A|</math> בלבד.

''פתרון:''

א. נפתח ונקבל <math>(A+I)^2 =A^2+AI+IA+I^2=A^2+2A+I</math> נעביר אגפים ונקבל <math>A(-1)(A+2I)=I</math> ולכן <math>A</math>הפיכה.

ב.לפי המשפט <math>adjA=|A| A^{-1}</math> ולכן בעצם נשאר למצוא ביטוי ל<math>A^{-1}</math>.
לפי הסעיף הקודם <math>A^{-1}=-A-2I</math> ולכן <math>adjA=(-A-2I)|A|</math>.
===תרגיל===
יהיו A,B ריבועיות (מגודל <math>n\times n</math>ׂ. הוכיחו כי <math>adj(AB)=adj(B)adj(A)</math>

פתרון:

מקרה 1: גם A וגם B הפיכות: מקרה פשוט - מוזמנים להוכיח בעזרת המשפט <math>A\cdot adj(A)=det(A)\cdot I</math>

מקרה 2: A או B מדרגה קטנה שווה ל <math>n-2</math>: גם מקרה פשוט לאור העובדה שעבור מטריצה A שדרגתה קטנה שווה ל <math>n-2</math> מתקיים כי <math>adj(A)=0</math> ובנוסף <math>rank(AB)\leq rank(A),rank(B)</math>

מקרה 3 - אחרת: יהיו i,j נתונים. השתכנעו כי ניתן להגדיר מטריצה <math>A'</math> כך שהיא זהה ל A פרט אולי לשורה i ומטריצה <math>B'</math> שזהה למטריצה B פרט אולי לעמודה j המקיימות כי: או ש <math>A'</math> וגם <math>B'</math> הפיכות או ש <math>A'</math> או<math>B'</math> מדרגה קטנה שווה ל <math>n-2</math>.

בכל מקרה לפי מקרה1 ומקרה 2 נסיק כי <math>adj(A'B')=adj(B')adj(A')</math>. סיום ההוכחה נובע מכך ש:
*<math>M_{i,j}(A'B')=M_{i,j}(AB)</math>
*<math>R_{j}(adj(B'))C_i(adj(A'))=R_{j}(adj(B))C_i(adj(A))</math>
ולכן המיקום <math>j,i</math> שווה בשני האגפים.

===תרגיל===
תהי <math>A\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math> ונתון שהיא הפיכה ב<math>\mathbb{R}^{n\times n}</math> (כלומר שיש מטריצה ''ממשית'' <math>B</math> כך ש <math>AB=BA=I</math>). הוכיחו כי היא הפיכה ב<math>\mathbb{Q}^{n\times n}</math>.

'''פתרון:'''
מכיוון שמטריצה הפיכה היא יחידה, לא יתכן שב<math>\mathbb{Q}^{n\times n}</math> יש מטריצה הופכית אחרת. כך שבעצם יש להראות ש<math>A^{-1}</math> הממשית היא בעצם עם איברים ב<math>\mathbb{Q}</math>.

לפי המשפט <math>A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}</math>.
<math>|A|\in \mathbb{Q}</math> כי הדטרמיננטה זה סכומים של מכפלות של איברי <math>A</math> שהם רציונליים.
<math>adjA\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math> כי האיברים הם <math>(-1)^{i+j}|M_{ji}|</math> שהם גם רציונלים (כמו קודם).
סה"כ קיבלנו <math>A^{-1}\in \mathbb{Q}^{n\times n}</math>.

'''פתרון בלי לערב adj סתם:''' נתון ש- <math>|A|\neq 0</math> וכיון ש- <math>|A|\in \mathbb{Q}</math> (דטרמיננטה מתקבלת ממכפלות של איברי המטריצה (עד כדי מינוס אחד) שהינם רציונאליים) אז היא הפיכה גם מעל הרציונאליים.

==דטרמיננטות של העתקות לינאריות==
[[צריך???]]
 
'''טענה''' אם <math>A</math>מטריצה ריבועית ו<math>P</math>מטריצה הפיכה, אזי <math>|A|=|PAP^{-1}|</math>.

(הוכחה: <math>|PAP^{-1}|=|P||A||P|^{-1}=|A||P||P|^{-1}=|A|</math>).

ראינו בעבר שאם <math>A,B</math> הן מטריצות מייצגות של אותה העתקה לינארית <math>T \colon V \rightarrow V</math>אזי יש מטריצה הפיכה <math>P</math>(למעשה מטריצת מעבר בסיסים) כך ש<math>B=PAP^{-1}</math>. לאור הטענה הקודמת רואים שלא משנה איך נחשב את המטריצה המייצגת, הדטרמיננטה תישאר אותו דבר. ולכן אפשר להגדיר...

'''הגדרה''' הדטרמיננטה של העתקה לינארית <math>T\colon V\rightarrow V</math>היא הדטרמיננטה של מטריצה מייצגת (כלשהי).

'''טענה שימושית''' העתקה <math>T\colon V\rightarrow V</math>היא הפיכה אם"ם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

'''עוד טענה שימושית''' תהיינה <math>T,S \colon V \rightarrow V</math> הע"ל. אזי <math>|T\circ S|=|T||S|</math>.