הצגת המקור של אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12

==פונקציה רציפה למקוטעין==
'''הגדרה:''' הפונקציה <math>f:[-\pi,\pi]\to\C</math> תקרא ''רציפה למקוטעין'' אם:
:#ל־<math>f</math> יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
:#בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדיים. כלומר, אם <math>x_0</math> אי־רציפות אזי <math>\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)</math> קיימים במובן הצר.

{{פס|{{הערה|הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.}}}}

===תכונות===
#סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
#הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.
לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־<math>E</math>. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־<math>\langle f,g\rangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math>.

=== משפט ===
סדרת הפונקציות <math>\left\{\frac1\sqrt2,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\dots\right\}</math> היא מערכת אורתונורמלית ב־<math>E</math>.

==== הוכחה ====
נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג איברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל איבר היא 1:
{{left|<math>\begin{align}\left\langle\frac1\sqrt2,\sin(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\sin(nx)\mathrm dx=\left[-\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\cos(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac1\sqrt2,\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\sin(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac1{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\sin(mx),\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}2\mathrm dx=-\frac1{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{x=-\pi}^\pi=0\end{align}</math>}}

הערה: נעזרנו ב־<math>\sin(\alpha)\cos(\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2</math>
דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים: <math>\int\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{x=-\pi}^\pi=0</math>. עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.

באותו אופן ניתן להראות ש־<math>\langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0</math>.

עתה נראה שהנומה של כל איבר היא 1:
{{left|<math>\begin{align}\left\|\frac1\sqrt2\right\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\mathrm dx}{\sqrt2^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|sin(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}2\mathrm dx=\frac1\pi\left[\frac x2-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{x=-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}2\mathrm dx=1\end{align}</math>}}

== מערכת סגורה ==
'''הגדרה:''' תהי <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math>. המערכת תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם <math>\forall\mathbf u\in V:\ \lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>.

'''מסקנה''': ניתן להציג כל <math>f</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האיברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.

{{left|<math>\begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac1\sqrt2\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac1\sqrt2\mathrm dx\right)\frac1\sqrt2=\frac1{2\pi}\itn\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\left(\underbrace{\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx}_{b_n}\right)\sin(nx)\\3.\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\left(\underbrace{\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx}_{a_n}\right)\cos(nx)\end{align}</math>}}

לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה: <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases}</math>

== טור פורייה ==
תהי <math>f\in E</math>. הטור <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases}</math> נקרא טור פורייה של <math>f</math> ויסומן <math>f(x)\~{}\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math>.

=== פונקציות זוגיות ואי־זוגיות ===
'''תכונות:'''
* מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
* מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
* מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.

==== משפט ====
תהי <math>f\in E</math>.
* אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
* אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור סינוסים".

==== תרגיל ====
מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\\-2,&x<0\end{cases}</math> בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.

===== פתרון =====
ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים{{left|<math>\begin{align}a_0&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^0 -2\mathrm dx+\frac1\pi\int\limtis_0^\pi\mathrm dx=\frac1\pi[-2x]_{x=-\pi}^0+\frac1\pi[x]_{x=0}^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\in2\mathbb Z\\\frac6{\pi n},&n\in2\mathbb Z+1\end{cases}</math>}}
ולכן <math>f(x)\~{}-\frac12+\sum_{n=1}\frac6{(2n-1)\pi\sin((2n-1)x)</math>. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האיבר <math>-\frac12</math> שבהתחלה.

==== תרגיל ====
מצא טור פורייה של <math>f(x)=x</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math>.

===== פתרון =====
<math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים: <math>b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)\mathrm dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}n\end{bmatrix}=2\left[-\frac{x\cos(nx)}n\right]_{x=0}^\pi+\frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}n\mathrm dx=\frac2\pi\left(\frac{-\pi(-1)^n}n+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_{x=0}^\pi=\frac{2(-1)^{n+1}}n</math>, כלומר <math>x\~{}\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}n\sin(nx)</math>.

==== תרגיל ====
נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\mathbb C</math> נגדיר <math>G(a,b,c)=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|\mathrm dx</math>. עברו אילו ערכים של <math>a,b,c</math> מקבלת <math>G</math> את ערכה המינימלי?

===== פתרון =====
נשים לב ש־<math>G(a,b,c)=\|f(x)-{\color{Blue}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\|^2</math>. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגנולי של <math>f</math> אז מובטח לנו ש־<math>G(a,b,c)</math> מקבל את ערכו המינימלי. נפתור זאת: {{left|<math>\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\frac{\tfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx}{\tfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\mathrm dx}=\frac1{2\pi}\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|cos\|^2}=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)\mathrm dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)\mathrm dx\end{align}</math>}}

----

נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> ולאיבר <math>x=\left\{\frac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. מתקיים <math>\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n</math> אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא <math>\frac{16}{85}</math>. לכן, <math>\|x\|_2=\frac4\sqrt{85}</math>. {{משל}}