הצגת המקור של שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/ערך הביניים

איך פותרים את תרגיל 4 ??

'''פתרון:'''
נגדיר לכל n את הפוקנציה הבאה ונרצה למצוא להן שורש:
<math>g_{n}(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n})</math>

נשים לב שהפונקציה רציפה בתחחום <math>[0,\frac{n-1}{n}]</math>, ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים.

נביט בערכים הבאים (אם אחד מהם שווה ל0, סיימנו):
<math>X=\left \{ g_{n}(\frac{i}{n}):0\leq i\leq n-1 \right \}</math>

נרצה למצוא שני איברים בתחום ההגדרה של הפונקציה <math>g_{n}(x)</math> עם סימנים מנוגדים.

נבחין כי:
 
<math>g(0)=f(0)-f(\frac{1}{n})</math>

וכן כי מתקיים: <math>\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})=f(\frac{1}{n})-f(1)=f(\frac{1}{n})-f(0)</math>

לפי משפט ערך הביניים קיים <math>c\in [0,\frac{n-1}{n}]</math> כך שמתקיים: 

<math>g(c)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})}{n-1}=\frac{f(\frac{1}{n})-f(0)}{n-1}</math>

בבירור ניתן להבחין כי הסימנים של <math>g_{n}(0)</math> ושל <math>g_{n}(c)</math> שונים, ולכן קיימת לפונקציה g שורש וסיימנו.




        '''תודה''', אכזרי ביותר.