הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "==משפט 10== ===הוכחה=== לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math>...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | - | + | =אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}= |
+ | '''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>. כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה. | ||
− | ''' | + | '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית. |
− | ''' | + | '''תזכורת:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות: |
+ | * שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים. | ||
+ | *: עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת. | ||
+ | * נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>. | ||
+ | *: ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה. | ||
− | + | =אינטגרל לא אמיתי, סוג II= | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | =אינטגרל לא אמיתי | + | |
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה. | מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה. | ||
− | '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>). | + | '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>). לכן נגדיר <math>\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f</math> אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math>. אם אין גבול אומרים ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר. |
− | + | ||
− | + | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
− | # נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x | + | # נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>. |
− | # <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\ | + | # <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס. |
# דרך קצרה: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2</math>. | # דרך קצרה: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2</math>. | ||
שורה 37: | שורה 31: | ||
אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. | אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. | ||
==משפט 2== | ==משפט 2== | ||
− | עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+ | + | עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>. |
==משפט 3== | ==משפט 3== | ||
− | תהי | + | תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>. |
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
− | עבור <math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> | + | עבור <math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>. |
==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== | ==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== | ||
− | נניח שב-<math>(a,b]</math> | + | נניח שב-<math>(a,b]</math> הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן <math>0\le f(x)\le g(x)</math>. |
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | * אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר. | * אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר. |
גרסה מ־14:33, 2 במאי 2011
את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: . כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי . למשל, אם f רציפה למקוטעין ב- אז היא אינטגרבילית מקומית.
תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו להיות בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש- מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
- שני האינטגרלים מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים מתכנסים.
- עפ"י משפט 2 מתכנס אם"ם מתכנס. באותו אופן מתכנס אם"ם מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים אז הם שווים ל-.
- ובכן עפ"י משפט 2 וגם . נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
אינטגרל לא אמיתי, סוג II
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש- f אינטגרבילית בקטע (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-). לכן נגדיר אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע . אם אין גבול אומרים ש- מתבדר.
דוגמאות
- נקח ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי . עבור נקבל והאינטגרל מתבדר. עבור נקבל .
- . נציב וכן לקבל כלומר מתכנס.
- דרך קצרה: .
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
הנחה קבועה: נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית בקטע .
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
משפט 2
עבור f אינטגרבילית בקטע אם"ם היא אינטגרבילית בקטע ואם כן .
משפט 3
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע אזי קיים אם"ם f חסומה בקטע .
מסקנה
עבור האינטגרל מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים כאשר .
משפט 4 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן .
- אם מתכנס אז מתכנס.
- אם מתבדר אז מתבדר.