הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"
מ (←אינטגרל לא אמיתי, סוג II) |
(←אינטגרל לא אמיתי, סוג II) |
||
שורה 26: | שורה 26: | ||
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה. | לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה. | ||
+ | |||
+ | '''הנחה קבועה:''' למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math>. | ||
==משפט 1== | ==משפט 1== | ||
אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. | אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. | ||
==משפט 2== | ==משפט 2== | ||
− | + | עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>. | |
==משפט 3== | ==משפט 3== | ||
שורה 36: | שורה 38: | ||
==משפט 4== | ==משפט 4== | ||
− | + | אם <math>f(x)\ge0</math> אז האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>. | |
==משפט 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== | ==משפט 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== | ||
− | נניח שב-<math>(a,b]</math> | + | נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים <math>0\le f(x)\le g(x)</math>. |
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | * אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר. | * אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר. | ||
+ | |||
+ | <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} | ||
+ | |||
+ | ==משפט 6 {{הערה|(מבחן ההשוואה הגבולי)}}== | ||
+ | נניח ש-<math>f(x),g(x)\ge0</math> ונניח שקיים ממש <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
+ | ===מסקנה=== | ||
+ | אם בפרט <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}>0</math> אז <math>\int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f</math> מתכנסים ומתבדרים יחדיו. | ||
+ | |||
+ | ==משפט 7== | ||
+ | האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math> | ||
+ | |||
+ | ==משפט 8== | ||
+ | אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס בהחלט אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה <math>[a,b)</math> (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים <math>\int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f</math>). כמו כן, אם f מוגדרת ב-<math>(a,b)</math> ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדרים <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> עבור <math>c\in(a,b)</math> כלשהו ונאמר ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f</math> מתכנסים. | ||
+ | |||
+ | אם f מוגדרת ב-<math>[a,b]</math> למעט איזו נקודת בייניים <math>c\in(a,b)</math> שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים. |
גרסה מ־14:24, 5 במאי 2011
את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: . כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי . למשל, אם f רציפה למקוטעין ב- אז היא אינטגרבילית מקומית.
תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו להיות בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש- מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
- שני האינטגרלים מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים מתכנסים.
- עפ"י משפט 2 מתכנס אם"ם מתכנס. באותו אופן מתכנס אם"ם מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים אז הם שווים ל-.
- ובכן עפ"י משפט 2 וגם . נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
אינטגרל לא אמיתי, סוג II
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש- f אינטגרבילית בקטע (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-). לכן נגדיר אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע . אם אין גבול אומרים ש- מתבדר.
דוגמאות
- נקח ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי . עבור נקבל והאינטגרל מתבדר. עבור נקבל .
- . נציב וכן לקבל כלומר מתכנס.
- דרך כתיבה מקוצרת: .
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-.
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
משפט 2
עבור f אינטגרבילית בקטע אם"ם היא אינטגרבילית בקטע ואם כן .
משפט 3
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע אזי קיים אם"ם f חסומה בקטע .
משפט 4
אם אז האינטגרל מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים כאשר .
משפט 5 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- מתקיים .
- אם מתכנס אז מתכנס.
- אם מתבדר אז מתבדר.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש- ונניח שקיים ממש . אם מתכנס אז מתכנס.
מסקנה
אם בפרט אז מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
משפט 7
האינטגרל מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי:
משפט 8
אם מתכנס בהחלט אז מתכנס.
באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים ). כמו כן, אם f מוגדרת ב- ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדרים עבור כלשהו ונאמר ש- מתכנס אם"ם שני האינטגרלים מתכנסים.
אם f מוגדרת ב- למעט איזו נקודת בייניים שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.