הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/15.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}= '''משפט:''' <math>f_n\to f</math> במ"ש בקטע I אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>n_0\i...") |
מ (←פתרון) |
||
שורה 49: | שורה 49: | ||
נוכיח כי הטור <math>S_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> מתכנס ל-<math>\sin(x)</math> במ"ש בקטע <math>[0,2\pi]</math> כאשר <math>n\to\infty</math>. | נוכיח כי הטור <math>S_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> מתכנס ל-<math>\sin(x)</math> במ"ש בקטע <math>[0,2\pi]</math> כאשר <math>n\to\infty</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | ברור שיש התכנסות נקודתית, נותר לבדוק התכנסות במ"ש. נסמן <math>f_n(x)=\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>. מתקיים <math>|S_N(x)-\sin(x)|\le|R_N(x)|=\left|\frac{(-1)^{N+1}c^{2(N+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}</math>. מתקיים <math>\frac{c^{2n+3}}{(2n+3)!}\le\frac{(2\pi)^{2\pi+3}}{(2n+3)!}=:a_n</math>. מספיק להסתכל על <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(2\pi)^{2n+5}}{(2n+5)!}\frac{(2n+3)!}{(2\pi)^{2n+3}}=\frac{(2\pi)^2}{(2n+4)(2n+5)}\to0</math>, לכן <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס ולכן <math>a_n\to0</math>. מכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}} | + | ברור שיש התכנסות נקודתית, נותר לבדוק התכנסות במ"ש. נסמן <math>f_n(x)=\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>. מתקיים <math>|S_N(x)-\sin(x)|\le|R_N(x)|=\left|\frac{(-1)^{N+1}c^{2(N+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\right|</math>. מתקיים <math>\frac{c^{2n+3}}{(2n+3)!}\le\frac{(2\pi)^{2\pi+3}}{(2n+3)!}=:a_n</math>. מספיק להסתכל על <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(2\pi)^{2n+5}}{(2n+5)!}\frac{(2n+3)!}{(2\pi)^{2n+3}}=\frac{(2\pi)^2}{(2n+4)(2n+5)}\to0</math>, לכן <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס ולכן <math>a_n\to0</math>. מכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}} |
==דוגמה 8== | ==דוגמה 8== |
גרסה מ־13:21, 28 במאי 2011
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט: במ"ש בקטע I אם"ם לכל יש כך שלכל מתקיים .
דוגמה 1
תהי . קבעו התכנסות בכל אחד מהקטעים הבאים:
- עבור
- בקטע
פתרון
פונקציית הגבול היא .
- נראה התכנסות במ"ש ב-: .
- נראה שההתכנסות נקודתית בלבד ב-: .
דוגמה 2
קבע האם מתכנסת במ"ש ב-.
פתרון
קל לראות ש-. נבדוק התכנסות במ"ש: . נחפש מקסימום: וקל לראות שעבור הנגזרת אכן מתאפסת. ברור ש- מונוטונית יורדת ב- ולכן זו אכן נקודת מקסימום. מתקיים ולכן .
דוגמה 3
תהי סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקציה f, האם f חסומה?
פתרון
נבחר לדוגמה בקטע . ברור כי וכי אם אז , לכן f לא חסומה.
דוגמה 4
תהי סדרת פונקציות המתכנסת לפונקציה f במ"ש ב-I. נוכיח כי אם כל אחת מהפונקציות חסומה ב-I, אזי גם f חסומה ב-I.
פתרון
נרשום . נתון כי ההתכנסות במ"ש ולכן , בפרט עבור . כמו כן חסומה ב-I (מהנתון) כלומר קיים M כך ש- ולכן מתקבל ש- לכל .
משפט: אם מתכנסת במ"ש בקטע I וכל רציפה אזי f רציפה.
דוגמה 5
ניתן דוגמה לסדרת פונקציות רציפות המתכנסות לפונקציה רציפה אבל לא מתכנסת במ"ש בקטע סגור.
פתרון
נגדיר את הפונקציה הבאה: . קל לראות שהפונקציה הנ"ל מוגדרת בקטע , אפשר לראות שהפונקציה הנ"ל רציפה. נצייר אותה: (יטופל בהמשך)
לכל יש כך שלכל מתקיים שם מתקיים , כלומר סדרה קבועה מ- מסויים. כמו כן ולכן ההתכנסות אינה במ"ש.
דוגמה לפתרון עצמי
הוכח או הפרך: אם סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול f וכן פונקציה רציפה אזי היא סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקציות הגבול .
טורים של פונקציות
דוגמה 6
נסמן לכלn בקטע . מה היא פונקצית הסכום ?
פתרון
.
דוגמה 7
נוכיח כי הטור מתכנס ל- במ"ש בקטע כאשר .
פתרון
ברור שיש התכנסות נקודתית, נותר לבדוק התכנסות במ"ש. נסמן . מתקיים . מתקיים . מספיק להסתכל על , לכן מתכנס ולכן . מכאן שההתכנסות במ"ש.
דוגמה 8
בדקו התכנסות במ"ש .
פתרון
נשים לב כי לא יגדוע מהי פונקצית הגבול של הטור ולכן לא ניתן להוכיח התכנסות במ"ש ישירות מההגדרה. במקום, נפנה לתנאי קושי: