הבדלים בין גרסאות בדף "משפט ההגדרה"
מתוך Math-Wiki
(←הוכחה) |
(←משפט ההגדרה) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]] | ||
+ | |||
=משפט ההגדרה= | =משפט ההגדרה= | ||
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים) | יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים) |
גרסה מ־20:50, 4 בנובמבר 2011
חזרה למשפטים בלינארית
משפט ההגדרה
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה המקיימת:
הוכחה
יהי אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B
- .
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי
- .
קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר ).
נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר ), מתקיים:
ולכן S=T.