הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"
(←שיטה ראשונה (טרטליה)) |
(←שיטה ראשונה (טרטליה)) |
||
שורה 23: | שורה 23: | ||
'''מש"ל.''' | '''מש"ל.''' | ||
− | כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. | + | כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>. |
גרסה מ־16:35, 22 בנובמבר 2011
הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.
הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.
לפני שמתחילים
בהינתן משוואה ניתן להציב . המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה עבור מספרים כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- כי הוא פיתרון אם ורק אם הוא פיתרון של המשוואה ב-.
לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה .
הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם או ), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.
שיטה ראשונה (טרטליה)
נחפש כך שיתקיים ו-.
טענה: במצב זה, הוא שורש של המשוואה.
הוכחה: נציב ונבדוק:
מש"ל.
כדי למצוא נשים לב ש- ולכן הם שורשים של המשוואה הריבועית . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות ואז נבחר .