הבדלים בין גרסאות בדף "משפט המימדים"
(←משפט המימדים) |
Theanonymous (שיחה | תרומות) מ (←B בת"ל) |
||
שורה 38: | שורה 38: | ||
כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים: | כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים: | ||
− | ::<math>v= | + | ::<math>v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p</math> |
ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>. | ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>. |
גרסה מ־11:11, 6 בדצמבר 2011
חזרה למשפטים בלינארית
משפט המימדים
יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:
הוכחה
נסמן את הבסיס ל ב .
כיוון ש, ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס לU ובאופן דומה לבסיס לW.
נסמן את הבסיסים ב .
נסמן את איחוד הבסיסים ב , ונוכיח כי B הינו בסיס לU+W.
B פורש את U+W
יהי . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, .
ברור אם כך כי
B בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
- .
נסמן
ברור משני אגפי המשוואה כי ולכן
לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, .
כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:
ולכן .
כעת קיבלנו כי ,
אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.
ספירת מימדים וסיכום
מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: