הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
מ (←שאלה 6) |
מ (←שאלה 2) |
||
שורה 19: | שורה 19: | ||
נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)</math>. | נגדיר פונ' <math>h</math> על ידי <math>\forall x \in [0,2]: h(x)=xf(x)</math>. | ||
h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. | h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. | ||
+ | |||
<math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>. | <math>h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1</math>. | ||
− | בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0=\frac{1}{x_0}</math>. | + | בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0f(x_0)=1\rightarrow f(x_0)=\frac{1}{x_0}</math>. מש"ל. |
==שאלה 3== | ==שאלה 3== |
גרסה מ־19:03, 4 בפברואר 2012
(המבחן )
שאלה 1
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי פונקצ' המוגדרת בסביבת . נניח כי גזירה ב- וגם וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה ורציפה בנקודה . אזי גזירה ב-, ונגזרתה שם שווה ל- .
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים .
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב. לכן , ובאותו האופן , ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
ואילו ולכן לפי משפט ערך הביניים .
בנקודה זו מתקיים הדרוש - . מש"ל.
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה פעמים בסביבה של . אז , כאשר .
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -
שאלה 4
באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf
שאלה 5
שאלה 6
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא ולכן האינטגרל הוא , ועם תנאי ההתחלה נקבל .
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של בתחום .
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3. , , ולכן ההעתק המקסימלי הוא .