הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"
מתוך Math-Wiki
מ (משפטים/אינפי/משפט לייבניץ הועבר למשפט לייבניץ) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== | ==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== | ||
שורה 40: | שורה 38: | ||
כפי שרצינו. | כפי שרצינו. | ||
+ | |||
+ | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־01:07, 15 בפברואר 2012
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס
- השארית מקיימת
הוכחה
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הינה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מאפסילון.
נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
לכן
כלומר
וכן הלאה עד שנקבל
וכיוון ש שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מאפסילון (ללא תלות ב-m).
לפי טיעון דומה, ולכן
כפי שרצינו.