הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן " == המשפט == תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x)...") |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←המשפט) |
||
שורה 10: | שורה 10: | ||
---- | ---- | ||
+ | |||
+ | == הוכחה == | ||
+ | === סעיף א'=== | ||
+ | נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן | ||
+ | <math>А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta} f(t)dt</math>. נתון ש-f חסומה, נגיד | ||
+ | <math>|f(x)| \leq M </math>. לכן מתקיים | ||
+ | <\math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 . | ||
+ | לכן: | ||
+ | <math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> נובע ש: | ||
+ | <math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות, | ||
+ | <math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>\blacksquare </math> |
גרסה מ־20:51, 27 במרץ 2012
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן . נתון ש-f חסומה, נגיד . לכן מתקיים
<\math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן: נובע ש: ולכן מתקיים תנאי הרציפות, .