הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
||
שורה 39: | שורה 39: | ||
נעיר קודם כל כי מתקיים: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math> | נעיר קודם כל כי מתקיים: <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x </math> | ||
+ | ולכן <math>\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0})</math>. | ||
+ | |||
+ | כעת נראה כי הביטוי מתאפס: | ||
+ | <math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math> | ||
+ | |||
+ | יהי <math>\epsilon >0</math>. אזי קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|\Delta x|< \delta</math> | ||
+ | אז <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|< \epsilon</math> |
גרסה מ־11:43, 28 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן
. נתון ש-f חסומה, נגיד .
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי קיימת ושווה ל- . נחזור לפונקציה . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר , מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי .
נעיר קודם כל כי מתקיים: ולכן .
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . אזי קיים כך שאם אז