הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3"
מתוך Math-Wiki
שורה 3: | שורה 3: | ||
*<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math> | *<math>\sum\frac{1}{\sqrt[n]{(n!)^2}}</math> | ||
+ | '''פתרון''' | ||
+ | |||
+ | נשים לב כי <math>\lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>\lim\frac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן הטור חבר של <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> ולכן מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון ישן''' | ||
נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאיברי המכפלה <math>1\cdot 2\cdot 3 \cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math>. | נשים לב כי לפחות '''שני שלישים''' מאיברי המכפלה <math>1\cdot 2\cdot 3 \cdots n</math> גדולים מהמספר <math>\frac{n}{3}</math>. |
גרסה מ־09:09, 4 באפריל 2012
פתרון
נשים לב כי
ולכן
ולכן הטור חבר של ולכן מתכנס.
פתרון ישן
נשים לב כי לפחות שני שלישים מאיברי המכפלה גדולים מהמספר .
נקטין את כל האיברים במכפלה שגדולים מ, ומכיוון שיש לפחות כאלה נקבל ש
(נניח , קל לבדוק את )
נעלה בריבוע ונקבל ש-
ולכן
אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)
- (ידוע כי טור זה מתכנס)
וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.