הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 3"

גרסה מ־19:09, 28 באפריל 2012

חשב את אורך העקום של הפונקציה $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ בקטע $[a,b]$

תהי f גזירה על כל הממשיים. הוכח שלכל M>0 קיים קטע $[a,b]$ כך שאורך העקומה של הפונקציה בקטע זה גדול מ-M.

תהי f רציפה ב $[a,b]$ הוכח כי

\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|f(x)|^{\frac{1}{n}}=\max_{x\in [a,b]}|f(x)|

תהי f רציפה. לכל אפסילון גדול מאפס נגדיר את הפונקציה

g_\epsilon(x)=\frac{1}{2\epsilon}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}f(x+t)dt

הוכח כי $g_\epsilon(x)$ גזירה

הוכח כי לכל x מתקיים $\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+}g_\epsilon(x)=f(x)$

הוכח כי למשוואה $\int_0^xe^{-t^2}dt=x$ יש פתרון אחד ויחיד. מהו?

נניח f פונקציה רציפה, אי שלילית כך שלכל שתי נקודות בקטע $x,y\in [0,2]$ ולכל $t\in [0,1]$ מתקיים

f\Big(tx+(1-t)y\Big)\geq tf(x)+(1-t)f(y)

נניח בנוסף כי $f(1)=1$ הוכח כי

\int_0^2f(t)dt\geq 1

@@ שורה 30: / שורה 30: @@
 ::<math>f\Big(tx+(1-t)y\Big)\geq tf(x)+(1-t)f(y)</math>
-הוכח כי
+נניח בנוסף כי <math>f(1)=1</math> הוכח כי
 ::<math>\int_0^2f(t)dt\geq 1</math>