הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון"
(יצירת דף עם התוכן "הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (: == 1 == == 2 == == 3 == == 4 == שאלה זו (במלואה) הופיעה ...") |
(←2) |
||
שורה 6: | שורה 6: | ||
== 2 == | == 2 == | ||
+ | === א === | ||
+ | |||
+ | נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות): | ||
+ | |||
+ | <math>\int_{1}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx=\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx+\int_{1}^{e^{2}}e^{-ln^{2}x}dx</math> | ||
+ | |||
+ | האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון: | ||
+ | |||
+ | ידוע כי עבור כל <math>x\geq e^{2}</math> מתקיים: <math>ln^{2}(x)\geq 2ln(x)</math> | ||
+ | |||
+ | ומכאן שמתקיים, <math>e^{-ln^{2}x}\leq \frac{1}{x^{2}}</math>. | ||
+ | |||
+ | ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל <math>\int_{e^{2}}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}</math> מתכנס ולכן גם <math>\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן '''האינטגרל מתכנס'''. | ||
+ | |||
+ | === ב === | ||
+ | |||
+ | השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: [http://math-wiki.com/images/d/da/09Infi2sol9.pdf ראו שאלה 7] | ||
+ | |||
+ | === ג === | ||
+ | |||
+ | '''האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה''' | ||
+ | |||
+ | <math>g(x)=cosx</math>, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי. | ||
+ | |||
+ | <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0. | ||
+ | |||
+ | ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן. | ||
+ | |||
+ | === ד === | ||
+ | |||
+ | מתקיים: <math>\int_{1}^{\infty}\frac{|cosx|}{x}dx\geq\int_{1}^{\infty}\frac{cos^{2}x}{x}dx</math>, | ||
+ | |||
+ | ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה'). | ||
+ | |||
+ | === ה === | ||
+ | |||
+ | === ו === | ||
== 3 == | == 3 == |
גרסה מ־04:08, 17 במאי 2012
הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (:
1
2
א
נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות):
האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו.
נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון:
ידוע כי עבור כל מתקיים:
ומכאן שמתקיים, .
ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל מתכנס ולכן גם .
הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן האינטגרל מתכנס.
ב
השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: ראו שאלה 7
ג
האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה
, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי.
הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0.
ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן.
ד
מתקיים: ,
ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה').
ה
ו
3
4
שאלה זו (במלואה) הופיעה בתרגיל בית קודמים: ראו פתרון לתרגיל 2
5
נתון כי פונקציה רציפה יש לה פונקציה קדומה
לפי נוסחאת ניוטון-לייבניץ' מתקיים:
ידוע כי , ולכן:
לכן נוכל לכתוב את האינטגרל הלא אמיתי שאנו צריכים לחשב בצורה הבאה:
אך לפני שנחשב את האינטגרל עלינו להסביר מדוע בכלל ניתן לדבר עליו:
רציפה וחיובית לכל מתקיים: ,
ובפרט לכל מתקיים: .
גזירה ולכן רציפה הפונקציה רציפה וחיובית.
מכיוון ששתי הפונקציות רציפות ו חיובית הפונקציה רציפה, ולכן אינטגרבילית על כל קטע סופי על הישר.
וכאן סיימנו להראות שניתן לדבר על האינטגרל הלא אמיתי.
כעת נוכל לחשב את האינטגרל עצמו:
לטעמי נוחות בלבד נסמן:
וסיימנו (: