הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון"
(←ה) |
(←ו) |
||
שורה 53: | שורה 53: | ||
=== ו === | === ו === | ||
+ | |||
+ | מכיוון שיש לכאורה שני אינטגרלים בעייתים, נפצל את הביטוי לשניים ונוכיח התכנסות של כל אחד מהם בנפרד: | ||
+ | |||
+ | <math>\int_{0}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx+\int_{0}^{1}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx</math> | ||
== 3 == | == 3 == |
גרסה מ־06:43, 17 במאי 2012
הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (:
1
2
א
נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות):
האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו.
נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון:
ידוע כי עבור כל מתקיים:
ומכאן שמתקיים, .
ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל מתכנס ולכן גם .
הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן האינטגרל מתכנס.
ב
השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: ראו שאלה 7
ג
האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה
, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי.
הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0.
ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן.
ד
מתקיים: ,
ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה').
ה
האינטגרל הוא סכום של אינטגרל מתבדר ואינטגרל מתכנס (לפי דיריכלה), ולכן האינטגרל מתבדר.
ו
מכיוון שיש לכאורה שני אינטגרלים בעייתים, נפצל את הביטוי לשניים ונוכיח התכנסות של כל אחד מהם בנפרד:
3
4
שאלה זו (במלואה) הופיעה בתרגיל בית קודמים: ראו פתרון לתרגיל 2
5
נתון כי פונקציה רציפה יש לה פונקציה קדומה
לפי נוסחאת ניוטון-לייבניץ' מתקיים:
ידוע כי , ולכן:
לכן נוכל לכתוב את האינטגרל הלא אמיתי שאנו צריכים לחשב בצורה הבאה:
אך לפני שנחשב את האינטגרל עלינו להסביר מדוע בכלל ניתן לדבר עליו:
רציפה וחיובית לכל מתקיים: ,
ובפרט לכל מתקיים: .
גזירה ולכן רציפה הפונקציה רציפה וחיובית.
מכיוון ששתי הפונקציות רציפות ו חיובית הפונקציה רציפה, ולכן אינטגרבילית על כל קטע סופי על הישר.
וכאן סיימנו להראות שניתן לדבר על האינטגרל הלא אמיתי.
כעת נוכל לחשב את האינטגרל עצמו:
לטעמי נוחות בלבד נסמן:
וסיימנו (: