הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון"
(←ו) |
(←ו) |
||
שורה 57: | שורה 57: | ||
<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx+\int_{0}^{1}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx</math> | <math>\int_{0}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx+\int_{0}^{1}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''האינטגרל השני:''' נראה שבעצם מדובר באינטגרל אמיתי, כי יש גבול בנק' הבעייתית 0. | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x \to 0}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}=\lim_{x \to 0}\frac{x-arctanx}{x \cdot arctanx}={l'Hôpital}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{1}{x^{2}+1}}{arctanx+\frac{x}{x^{2}+1}}=</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{1}{x^{2}+1}}{arctanx+\frac{x}{x^{2}+1}}=\lim_{x \to 0}\frac{x^{2}}{x+(x^{2}+1)arctanx}=l'Hôpital=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{2+2xarctanx}=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''האינטגרל הראשון:''' | ||
+ | |||
+ | לפי מבחן ההשוואה הגבולי עם האינטגרל <math>\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}}{\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}-x^{2}arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}=\frac{2}{\pi}</math> | ||
+ | |||
+ | שני האינטגרלים מתכנסים, ולכן גם סמוכם מתכנס. | ||
== 3 == | == 3 == |
גרסה מ־07:05, 17 במאי 2012
הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (:
1
2
א
נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות):
האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו.
נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון:
ידוע כי עבור כל מתקיים:
ומכאן שמתקיים, .
ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל מתכנס ולכן גם .
הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן האינטגרל מתכנס.
ב
השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: ראו שאלה 7
ג
האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה
, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי.
הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0.
ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן.
ד
מתקיים: ,
ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה').
ה
האינטגרל הוא סכום של אינטגרל מתבדר ואינטגרל מתכנס (לפי דיריכלה), ולכן האינטגרל מתבדר.
ו
מכיוון שיש לכאורה שני אינטגרלים בעייתים, נפצל את הביטוי לשניים ונוכיח התכנסות של כל אחד מהם בנפרד:
האינטגרל השני: נראה שבעצם מדובר באינטגרל אמיתי, כי יש גבול בנק' הבעייתית 0.
האינטגרל הראשון:
לפי מבחן ההשוואה הגבולי עם האינטגרל .
שני האינטגרלים מתכנסים, ולכן גם סמוכם מתכנס.
3
4
שאלה זו (במלואה) הופיעה בתרגיל בית קודמים: ראו פתרון לתרגיל 2
5
נתון כי פונקציה רציפה יש לה פונקציה קדומה
לפי נוסחאת ניוטון-לייבניץ' מתקיים:
ידוע כי , ולכן:
לכן נוכל לכתוב את האינטגרל הלא אמיתי שאנו צריכים לחשב בצורה הבאה:
אך לפני שנחשב את האינטגרל עלינו להסביר מדוע בכלל ניתן לדבר עליו:
רציפה וחיובית לכל מתקיים: ,
ובפרט לכל מתקיים: .
גזירה ולכן רציפה הפונקציה רציפה וחיובית.
מכיוון ששתי הפונקציות רציפות ו חיובית הפונקציה רציפה, ולכן אינטגרבילית על כל קטע סופי על הישר.
וכאן סיימנו להראות שניתן לדבר על האינטגרל הלא אמיתי.
כעת נוכל לחשב את האינטגרל עצמו:
לטעמי נוחות בלבד נסמן:
וסיימנו (: