הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון"
(יצירת דף עם התוכן "הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (: == 1 == == 2 == == 3 == == 4 == שאלה זו (במלואה) הופיעה ...") |
(←3) |
||
(6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 3: | שורה 3: | ||
== 1 == | == 1 == | ||
+ | לצורכי נוחיות נסמן <math>l(x):=\sqrt{(f'(x))^{2}+1}</math>, | ||
+ | |||
+ | מכיוון שהפונקציה <math>f(x)</math> גזירה ברציפות, אזי <math>l(x)</math> מוגדרת ורציפה בקטע הפתוח <math>(0,1]</math>. | ||
+ | |||
+ | '''א''' | ||
+ | |||
+ | אנו רוצים להוכיח שאורך העקומה <math>f</math> הינו אינסופי <math>\Leftarrow</math> עלינו להראות כי: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=\infty</math>. | ||
+ | |||
+ | לפי הנתון: <math>f'(x)</math> מוגדרת ורציפה בקטע <math>(0,1]</math>, ועל כן היא אינטגרבילית בו. | ||
+ | |||
+ | <math>\int_{0}^{1}f'(x)dx=\lim_{a \to 0^{+}}\int_{a}^{1}f'(x)dx=\lim_{a \to 0^{+}}(f(1)-f(a))=-\infty</math> | ||
+ | |||
+ | מכיוון שהפונקציה אינה מתכנסת, אזי היא גם לא מתכנסת בהחלט ולכן בהכרח: <math>\int_{0}^{1}|f'(x)|dx=\infty</math> | ||
+ | |||
+ | נבחין כי מתקיים - <math>l(x)=\sqrt{(f'(x))^{2}+1}\geq \sqrt{(f'(x))^{2}}=|f'(x)|\geq 0</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן, לפי מבחן ההשוואה הראשון: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=\infty</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''ב''' | ||
+ | |||
+ | במקרה זה עלינו לנקוט גישה קצת שונה. | ||
+ | |||
+ | נניח בשלילה שהאורך העקומה הינו סופי, כלומר קיים <math>M \in \mathbb{R}</math>, כך שמתקיים: <math>\int_{0}^{1}l(x)dx=M</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>f</math> אינה חסומה <math>\Leftarrow</math> קיים <math>y \in (0,1]</math> כך שמתקיים: <math>|f(y)-f(1)|>M</math>. | ||
+ | |||
+ | מכיוון ש<math>l(x)</math> חיובית ממש לכל אורכה, אזי לכל <math>a,b \in (0,1]</math> מתקיים: <math>\int_{a}^{b}l(x)dx>0</math>. | ||
+ | |||
+ | (זה לא ממש שיא הפורמליות) ועל כן: | ||
+ | |||
+ | <math>\int_{0}^{1}l(x)dx>\int_{y}^{1}l(x)dx\geq \int_{y}^{1}|f'(x)|dx\geq |\int_{y}^{1}f'(x)dx|=|f(1)-f(y)|>M</math> | ||
+ | |||
+ | סתירה. | ||
== 2 == | == 2 == | ||
+ | === א === | ||
+ | |||
+ | נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות): | ||
+ | |||
+ | <math>\int_{1}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx=\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx+\int_{1}^{e^{2}}e^{-ln^{2}x}dx</math> | ||
+ | |||
+ | האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון: | ||
+ | |||
+ | ידוע כי עבור כל <math>x\geq e^{2}</math> מתקיים: <math>ln^{2}(x)\geq 2ln(x)</math> | ||
+ | |||
+ | ומכאן שמתקיים, <math>e^{-ln^{2}x}\leq \frac{1}{x^{2}}</math>. | ||
+ | |||
+ | ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל <math>\int_{e^{2}}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}</math> מתכנס ולכן גם <math>\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן '''האינטגרל מתכנס'''. | ||
+ | |||
+ | === ב === | ||
+ | |||
+ | השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: [http://math-wiki.com/images/d/da/09Infi2sol9.pdf ראו שאלה 7] | ||
+ | |||
+ | === ג === | ||
+ | |||
+ | '''האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה''' | ||
+ | |||
+ | <math>g(x)=cosx</math>, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי. | ||
+ | |||
+ | <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0. | ||
+ | |||
+ | ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן. | ||
+ | |||
+ | === ד === | ||
+ | |||
+ | מתקיים: <math>\int_{1}^{\infty}\frac{|cosx|}{x}dx\geq\int_{1}^{\infty}\frac{cos^{2}x}{x}dx</math>, | ||
+ | |||
+ | ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה'). | ||
+ | |||
+ | === ה === | ||
+ | |||
+ | <math>\int_{1}^{\infty}\frac{cos^{2}x}{x}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{cos2x+1}{2x}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{2x}+\int_{1}^{\infty}\frac{cos2x}{2x}dx</math> | ||
+ | |||
+ | האינטגרל הוא סכום של אינטגרל מתבדר ואינטגרל מתכנס (לפי דיריכלה), ולכן האינטגרל מתבדר. | ||
+ | |||
+ | === ו === | ||
+ | |||
+ | מכיוון שיש לכאורה שני אינטגרלים בעייתים, נפצל את הביטוי לשניים ונוכיח התכנסות של כל אחד מהם בנפרד: | ||
+ | |||
+ | <math>\int_{0}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx+\int_{0}^{1}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''האינטגרל השני:''' נראה שבעצם מדובר באינטגרל אמיתי, כי יש גבול בנק' הבעייתית 0. | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x \to 0}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}=\lim_{x \to 0}\frac{x-arctanx}{x \cdot arctanx}={l'Hôpital}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{1}{x^{2}+1}}{arctanx+\frac{x}{x^{2}+1}}=</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{1}{x^{2}+1}}{arctanx+\frac{x}{x^{2}+1}}=\lim_{x \to 0}\frac{x^{2}}{x+(x^{2}+1)arctanx}=l'Hôpital=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{2+2xarctanx}=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''האינטגרל הראשון:''' | ||
+ | |||
+ | לפי מבחן ההשוואה הגבולי עם האינטגרל <math>\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}}{\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}-x^{2}arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}=\frac{2}{\pi}</math> | ||
+ | |||
+ | שני האינטגרלים מתכנסים, ולכן גם סמוכם מתכנס. | ||
== 3 == | == 3 == | ||
+ | ===א=== | ||
+ | |||
+ | מופיע בתרגילי בית משנים קודמות: [http://math-wiki.com/images/d/da/09Infi2sol9.pdf ראו פתרון לשאלה 6] | ||
+ | |||
+ | ===ב=== | ||
+ | |||
+ | ===ג=== | ||
== 4 == | == 4 == |
גרסה אחרונה מ־10:54, 20 במאי 2012
הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (:
1
לצורכי נוחיות נסמן ,
מכיוון שהפונקציה גזירה ברציפות, אזי מוגדרת ורציפה בקטע הפתוח .
א
אנו רוצים להוכיח שאורך העקומה הינו אינסופי עלינו להראות כי: .
לפי הנתון: מוגדרת ורציפה בקטע , ועל כן היא אינטגרבילית בו.
מכיוון שהפונקציה אינה מתכנסת, אזי היא גם לא מתכנסת בהחלט ולכן בהכרח:
נבחין כי מתקיים -
ולכן, לפי מבחן ההשוואה הראשון: .
ב
במקרה זה עלינו לנקוט גישה קצת שונה.
נניח בשלילה שהאורך העקומה הינו סופי, כלומר קיים , כך שמתקיים: .
אינה חסומה קיים כך שמתקיים: .
מכיוון ש חיובית ממש לכל אורכה, אזי לכל מתקיים: .
(זה לא ממש שיא הפורמליות) ועל כן:
סתירה.
2
א
נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות):
האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו.
נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון:
ידוע כי עבור כל מתקיים:
ומכאן שמתקיים, .
ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל מתכנס ולכן גם .
הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן האינטגרל מתכנס.
ב
השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: ראו שאלה 7
ג
האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה
, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי.
הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0.
ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן.
ד
מתקיים: ,
ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה').
ה
האינטגרל הוא סכום של אינטגרל מתבדר ואינטגרל מתכנס (לפי דיריכלה), ולכן האינטגרל מתבדר.
ו
מכיוון שיש לכאורה שני אינטגרלים בעייתים, נפצל את הביטוי לשניים ונוכיח התכנסות של כל אחד מהם בנפרד:
האינטגרל השני: נראה שבעצם מדובר באינטגרל אמיתי, כי יש גבול בנק' הבעייתית 0.
האינטגרל הראשון:
לפי מבחן ההשוואה הגבולי עם האינטגרל .
שני האינטגרלים מתכנסים, ולכן גם סמוכם מתכנס.
3
א
מופיע בתרגילי בית משנים קודמות: ראו פתרון לשאלה 6
ב
ג
4
שאלה זו (במלואה) הופיעה בתרגיל בית קודמים: ראו פתרון לתרגיל 2
5
נתון כי פונקציה רציפה יש לה פונקציה קדומה
לפי נוסחאת ניוטון-לייבניץ' מתקיים:
ידוע כי , ולכן:
לכן נוכל לכתוב את האינטגרל הלא אמיתי שאנו צריכים לחשב בצורה הבאה:
אך לפני שנחשב את האינטגרל עלינו להסביר מדוע בכלל ניתן לדבר עליו:
רציפה וחיובית לכל מתקיים: ,
ובפרט לכל מתקיים: .
גזירה ולכן רציפה הפונקציה רציפה וחיובית.
מכיוון ששתי הפונקציות רציפות ו חיובית הפונקציה רציפה, ולכן אינטגרבילית על כל קטע סופי על הישר.
וכאן סיימנו להראות שניתן לדבר על האינטגרל הלא אמיתי.
כעת נוכל לחשב את האינטגרל עצמו:
לטעמי נוחות בלבד נסמן:
וסיימנו (: