הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון"
(←1) |
(←3) |
||
שורה 115: | שורה 115: | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
+ | |||
+ | ===ג=== | ||
== 4 == | == 4 == |
גרסה אחרונה מ־10:54, 20 במאי 2012
הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (:
1
לצורכי נוחיות נסמן ,
מכיוון שהפונקציה גזירה ברציפות, אזי מוגדרת ורציפה בקטע הפתוח .
א
אנו רוצים להוכיח שאורך העקומה הינו אינסופי עלינו להראות כי: .
לפי הנתון: מוגדרת ורציפה בקטע , ועל כן היא אינטגרבילית בו.
מכיוון שהפונקציה אינה מתכנסת, אזי היא גם לא מתכנסת בהחלט ולכן בהכרח:
נבחין כי מתקיים -
ולכן, לפי מבחן ההשוואה הראשון: .
ב
במקרה זה עלינו לנקוט גישה קצת שונה.
נניח בשלילה שהאורך העקומה הינו סופי, כלומר קיים , כך שמתקיים: .
אינה חסומה קיים כך שמתקיים: .
מכיוון ש חיובית ממש לכל אורכה, אזי לכל מתקיים: .
(זה לא ממש שיא הפורמליות) ועל כן:
סתירה.
2
א
נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות):
האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו.
נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון:
ידוע כי עבור כל מתקיים:
ומכאן שמתקיים, .
ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל מתכנס ולכן גם .
הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן האינטגרל מתכנס.
ב
השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: ראו שאלה 7
ג
האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה
, הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי.
הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0.
ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן.
ד
מתקיים: ,
ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה').
ה
האינטגרל הוא סכום של אינטגרל מתבדר ואינטגרל מתכנס (לפי דיריכלה), ולכן האינטגרל מתבדר.
ו
מכיוון שיש לכאורה שני אינטגרלים בעייתים, נפצל את הביטוי לשניים ונוכיח התכנסות של כל אחד מהם בנפרד:
האינטגרל השני: נראה שבעצם מדובר באינטגרל אמיתי, כי יש גבול בנק' הבעייתית 0.
האינטגרל הראשון:
לפי מבחן ההשוואה הגבולי עם האינטגרל .
שני האינטגרלים מתכנסים, ולכן גם סמוכם מתכנס.
3
א
מופיע בתרגילי בית משנים קודמות: ראו פתרון לשאלה 6
ב
ג
4
שאלה זו (במלואה) הופיעה בתרגיל בית קודמים: ראו פתרון לתרגיל 2
5
נתון כי פונקציה רציפה יש לה פונקציה קדומה
לפי נוסחאת ניוטון-לייבניץ' מתקיים:
ידוע כי , ולכן:
לכן נוכל לכתוב את האינטגרל הלא אמיתי שאנו צריכים לחשב בצורה הבאה:
אך לפני שנחשב את האינטגרל עלינו להסביר מדוע בכלל ניתן לדבר עליו:
רציפה וחיובית לכל מתקיים: ,
ובפרט לכל מתקיים: .
גזירה ולכן רציפה הפונקציה רציפה וחיובית.
מכיוון ששתי הפונקציות רציפות ו חיובית הפונקציה רציפה, ולכן אינטגרבילית על כל קטע סופי על הישר.
וכאן סיימנו להראות שניתן לדבר על האינטגרל הלא אמיתי.
כעת נוכל לחשב את האינטגרל עצמו:
לטעמי נוחות בלבד נסמן:
וסיימנו (: