|
|
| (6 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| − | == בדידה: תרגיל 1, 4.ג' ==
| + | לא הצלחתי להשיג אותך, תתקשר אלי בהזדמנות. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 17:03, 5 ביולי 2012 (IDT) |
| − | | + | |
| − | צ"ל <math>A\cap \bigcup_{i=1}^n B_i = \bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i)</math> ואח"כ אתה משתמש בזה פעמיים (כדי להראות ש: <math>\bigcup_{i=1}^n A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j' = \bigcup_{i=1}^n(A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j') = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^m (A_i \cap B_j')</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:01, 26 ביולי 2010 (IDT)
| + | |
| − | | + | |
| − | == לינארית: תרגיל 1, 2.8א ==
| + | |
| − | | + | |
| − | אתה רוצה להראות ש-<math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. מתקיים: <math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} = \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p}</math>. מכיוון ש-<math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}</math> הטענה נכונה. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:46, 27 ביולי 2010 (IDT)
| + | |
| − | :<math>\left(a^2-b^2 p\right)^{-1} \in \mathbb{F} \subset \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולכן <math>\frac{a}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F} \and \frac{-b}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}</math>. לפי הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולפי דיסטריביוטיביות (שאותה צ"ל, זה קל) נובע ש-<math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ואז, לפי <math>x^2-y^2=(x+y)(x-y)</math> (צ"ל), <math>\frac{x}{x}=1</math> ואסוציאטיביות (צ"ל) מתקיים <math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} = \frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:44, 27 ביולי 2010 (IDT)
| + | |
| − | ::בזכות תומר שמתי לב ש-p לא בהכרח שייך ל-F, חכו. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:07, 27 ביולי 2010 (IDT)
| + | |
| − | :::ברגע שמוכיחים סגירות נובע מכך: <math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. ניסיתי להוכיח סגירות: <math>(a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})=^\text{(distributivity)}ac+bdp+ad\sqrt{p}+bc\sqrt{p}=^\text{(associativity)}(ac+bdp)+(ad+bc)\sqrt{p}</math>. בזכות הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>, נותר להוכיח ש-<math>ac+bdp \in \mathbb{F}</math>, אבל בגלל קיום איבר נגדי, איבר הופכי וסגירות החיבור והכפל ב-F, צריך להתקיים ש-p שייך ל-F. חכו רגע, או שטעיתי או שיש פה משהו מתוחכם שלא ראיתי. נ.ב. נמרוד, למה מחקת? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:37, 27 ביולי 2010 (IDT)
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::בגלל שעדיף לא לציין מה שיש בו טעות אלה רק מה שנכון
| + | |
| − | :::::חשבתי שאולי תנסו למצוא טעות (ואולי נובע מכך שלכל תת-שדה של R כל הראשוניים שייכים לתת-שדה). בכל מקרה, רוב מה שכתבתי ישמש אותנו גם אם טעיתי. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:20, 27 ביולי 2010 (IDT)
| + | |
| − | | + | |
| − | ::::נזכרתי ש-<math>+_\mathbb{F}</math> זהה ל-<math>+_\mathbb{R}</math>, ולכן קל להוכיח באינדוקציה ש-<math>p\in \mathbb{F}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],
| + | |
| − | | + | |
| − | == לינארית: תרגיל 2, 5.16; 6.19; 6.20; ==
| + | |
| − | | + | |
| − | אני לא בטוח מה זאת אומרת "הרעיונות הכללים", אבל תבדוק אם כבר ענו על מה שאתה צריך [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה_4|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה על מט' מחלקת אפס|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20 - פולינום|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.19|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20_2|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#6.20|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 5.16|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20|כאן]] ו[[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.19 סעיף ב'|כאן]]. אם יש משהו שאתה עדיין לא מבין, תשאל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:56, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
| + | |
| − | :בקשר ל-5.16, מגדירים את <math>A_k\in\mathbb F^{n\times n}</math> כך ש: <math>\forall k\in\mathbb N\setminus \{0\}: \left(A_k\right)_{i,j}=\delta_{i+k,j}</math> (כאשר <math>\delta_{i,j} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{if } i=j \\ 0 & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.</math> היא הדלתא של קרונקר), ומחשבים לפי <math>\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^n{\left(A_m\right)_{i,k}\cdot \left(A_1\right)_{k,j}}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:43, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
| + | |
| − | ::עדין יש משהו שחסר לי בשביל להוכיח. בנוסף תרגיל 6.20 אני לא יודע מה לעשות שם...
| + | |
| − | :::המשך 5.16: <math>\begin{align}\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^n{\left(A_m\right)_{i,k}\cdot \left(A_1\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^n{\delta_{i+m,k}\cdot \delta_{k+1,j}}\end{align}</math>. אנו מחפשים מתי <math>\delta_{i+m,k}\cdot \delta_{k+1,j}\not =0</math>: <math>\delta_{i+m,k}=\delta_{k+1,j}=1\implies i+m=k\and k+1=j\implies k=i+m=j-1</math> יאדה, יאדה, יאדה, לכן <math>\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j}=\delta_{i+m,j-1}</math>. נותר להוכיח ש-<math>\left(A_{m+1}\right)_{i,j}=\delta_{i+m,j-1}</math> (זה קל), מש"ל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:50, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
| + | |
| − | לצערי לא הצלחתי להבין את 6.20 אשמח אם תוכל להסביר לי (ואשמח אם תוכל להסביר לי שנית מחר את 5.16 בשביל שאהיה בטוח שהבנתי נכון את הפתרון)
| + | |
| − | | + | |
| − | == הצמוד של שורש של פולינום ==
| + | |
| − | | + | |
| − | כל המקדמים ממשיים, לכן:
| + | |
| − | <div align="left">
| + | |
| − | <math>\begin{align}p(z)&=\sum_{k=0}^n{a_k z^k}\\&=0\\&=\bar0\\&=\overline{\sum_{k=0}^n{a_k z^k}}\\&=\sum_{k=0}^n\overline{a_k z^k}\\&=\sum_{k=0}^n{a_k \bar z^k}\\&=p(\bar z)\end{align}</math>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | == לינארית: תרגיל 3, דף נלווה, שאלה 2d ==
| + | |
| − | | + | |
| − | אכן <math>\operatorname{span}(\emptyset)=\{0\}</math> ([http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_H%C3%BClle ויקיפדיה הגרמנית], כאשר <math>\langle A\rangle=\operatorname{span}(A)</math>)
| + | |
| − | | + | |
| − | == לינארית: תרגיל 5, שאלה 2.11 ==
| + | |
| − | נגדיר <math>A=(a_1,a_2,\dots,a_m)\ \and\ B=(b_1,b_2,\dots,b_m)\ \implies\ A+B=(a_1+b_1,\dots,a_m+b_m)</math>.
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | {{equation|l=\operatorname{colspace}(A+B)|r=\operatorname{span}\{a_1+b_1,\dots,a_m+b_m\} }}
| + | |
| − | {{equation|o=\le|r=\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m\}|c=<math>\operatorname{span}\{a_1+b_1,\dots,a_m+b_m\}</math> הם צ"ל של <math>\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m\}</math>, לכן: }}
| + | |
| − | {{equation|ll=\implies|l=\operatorname{rank}(A+B)|o=\le|r=\dim(\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m\}) }}
| + | |
| − | {{equation|o=\le|r=\dim(\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_m\})+\dim(\operatorname{span}\{b_1,\dots,b_m\})|c=<math>\{a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m\}</math> תלויים לינארית ב-<math>\{a_1,\dots,a_m\}</math> ו-<math>\{b_1,\dots,b_m\}</math>}}
| + | |
| − | {{equation|r=\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B) }}
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | <math>\blacksquare</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == char ==
| + | |
| − | [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%90%D7%A4%D7%99%D7%99%D7%9F_%D7%A9%D7%9C_%D7%A9%D7%93%D7%94 מאפיין של שדה בויקיפדיה]. זה הופך את [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf שאלה 11 בחלק ב'] למאוד קלה.
| + | |
| − | :זה עדיין לא ברור
| + | |
| − | ::עבור <math>\operatorname{char}(\mathbb F)=p>0</math> מתקיים <math>\forall v_1,v_2\in\mathbb F: T(v_1+v_2)=(v_1+v_2)^p=v_1^p+v_2^p=T(v_1)+T(v_2)</math> וכן <math>\forall v,\alpha\in\mathbb F: T(\alpha v)=(\alpha v)^p=\alpha^p\cdot v^p=\alpha\cdot v^p=\alpha\cdot T(v)</math> ולכן ה"ל.
| + | |
| − | | + | |
| − | == לינארית 2: תרגיל 5, שאלה 3.18 ==
| + | |
| − | <div style="text-align:left;">
| + | |
| − | <math>\begin{array}{l}
| + | |
| − | \mbox{companion}(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})\begin{pmatrix}v_0\\v_1\\\vdots\\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_{n-1}\\-a_0v_0-a_1v_1-\dots-a_{n-1}v_{n-1}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}v_0\\v_1\\\vdots\\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}
| + | |
| − | \\\implies\ -a_0v_0-a_1v_1-\dots-a_{n-1}v_{n-1}=\lambda v_{n-1}=\lambda^2 v_{n-2}=\dots=\lambda^k v_{n-k}=\dots=\lambda^n v_0
| + | |
| − | \end{array}</math>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <span style="float:left;">[[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]]</span> 17:41, 15 בנובמבר 2010 (IST)
| + | |
| − | :<math>\lambda</math> ע"ע ולכן מקיים <math>p_A(\lambda)=\sum_{k=0}^na_k\lambda^k=0</math>. לפיכך <math>-\sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda^k=\lambda^n</math> (החסרנו את שני האגפים ב-<math>\sum_{k=0}^{n-1}a_k\lambda^k</math>) ועבור <math>v_0=1</math> זה אכן מתקיים, {{משל}}.
| + | |
