גרסה מ־20:54, 29 ביולי 2012

את משפט 3 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־29.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

תוכן עניינים

1 טורי חזקות (המשך)

טורי חזקות (המשך)

משפט 4

נניח שלטור $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ יש רדיוס התכנסות $R>0$ , אזי:

f גזירה אינסוף פעמים בקטע $(x_0-R,x_0+R)$ ולכל $k\in\mathbb N\cup\{0\}$ מתקיים $f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}$ . רדיוס ההתכנסות של כל אחד מהטורים הגזורים הוא R.
לכל $k\in\mathbb N\cup\{0\}$ , $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ , ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב $x_0$ .

הוכחה

באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
הוכחנו בסעיף 1 ש- $f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}$ . נציב $x=x_0$ ונקבל $f^{(k)}(x_0)=\frac{k!}{(k-k)!}a_k+\underbrace{\frac{(k+1)!}{(k+1-k)!}a_{k+1}(x_0-x_0)}_{=0}+\dots=k!a_k$ , כלומר $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$ . $\blacksquare$

מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)

נניח ששני טורי חזקות שווים זה לזה בקטע שלם, כלומר $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$ לכל $x\in(a,b)\ne\varnothing$ , אזי $\forall n:\ a_n=b_n$ .

הוכחה

נגדיר פונקציה גבולית $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$ . עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}=b_n$ . $\blacksquare$

הערה

חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_1)^n$ אבל $a_n\ne b_n$ עבור n כלשהו.

דוגמאות

נמצא את טור מקלורין $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ של הפונקציה $f(x)=\frac1{1-x}$ : ידוע לנו ש- $\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$ עבור $|x|<1$ . לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f. $\blacksquare$
נמצא טור טיילור של $f(x)=\frac1{1-x}$ סביב $x_0=\frac12$ , ז"א $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n$ .
דרך 1:
$\begin{align}f(x)&=(1-x)^{-1}\\f'(x)&=(1-x)^{-2}\\f''(x)&=2(1-x)^{-3}\\f^{(3)}(x)&=6(1-x)^{-4}\\&\;\;\vdots\\f^{(n)}(x)&=n!(1-x)^{-n-1}\end{align}$
נציב $x=\frac12$ לקבל $f\left(\frac12\right)=2,\ \dots,\ f^{(n)}\left(\frac12\right)=n!2^{n+1}$ ולכן הטור הוא $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n=\sum_{n=0}^\infty2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n$ . לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.
דרך 2: $\frac1{1-x}=\frac1{\frac12-\left(x-\frac12\right)}=2\frac1{1-2\left(x-\frac12\right)}=2\sum_{n=0}^\infty\left(2\left(x-\frac12\right)\right)^n$ . בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר $\left|2\left(x-\frac12\right)\right|<1$ , כלומר כש- $\left|x-\frac12\right|<\frac12$ . $\blacksquare$
נסכם: $\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n$ בקטע $(0,1)$ ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה.
נמצא את טור מקלורין של $f(x)=\arctan(x)$ , ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.
דרך 1: טור מקלורין הוא $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ , כאשר
$\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}$
מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.
דרך 2: תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה $g(x)=\frac1{1+x^2}$ ואז נוכל לקבל את הטור עבור $\arctan(x)$ ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: $\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}$ עבור $\left|-x^2\right|<1$ , ז"א $|x|<1$ . עתה נעשה אינטגרציה: $\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt$ לכל $|x|<1$ , ולכן $\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ . עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של $\arctan$ בתחום $(-1,1)$ . $\blacksquare$ אם מותר להציב $x=1$ אז נקבל את המשוואה היפה $\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots$ , אבל מכיוון שלא מתקיים $|1|<1$ צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש- $\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)$ .
מצאו את טור טיילור ל- $\ln(x)$ סביב $x_0=1$ וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל- $\ln(x)$ .
דרך 1: לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל $\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n$ ואז נבדוק מתי השארית $R_N(x)$ שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).
דרך 2: $\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t$ ולכן תחילה נפתח $\frac1x$ : $\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n$ כאשר $|x-1|<1$ . כעת $\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}$ בתחום $|x-1|<1$ . $\blacksquare$ עבור $x=2$ לא מתקיים $|x-1|<1$ , אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל $\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots$ (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
(תרגיל ממבחן) נגדיר $f(x)=x^7e^{-x^2}$ . מצאו $f^{(19)}(0)$ : לכל $t\in\mathbb R$ מתקיים $e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}$ ונציב $t=-x^2$ לקבל $f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}$ . לפי משפט 4 המקדם $a_{19}$ של $x^{19}$ מקיים $a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}$ ולכן $f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}$ . $\blacksquare$

מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)

הגדרה: מד"ר היא משוואה המקשרת פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות.

דוגמאות

$f'(x)=\sin(x)$ היא מד"ר, שפתרונה הוא $f(x)=-\cos(x)+c$ עבור קבוע c כלשהו.
גם $f(x)=f'(x)$ היא מד"ר, ופתרונה $f(x)=ae^x$ עבור קבוע a.
$f''(x)=-f(x)$ . ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה $a\sin(x)+b\cos(x)$ עבור a,b קבועים.
(דוגמה יותר קשה) נמצא פתרון כללי ל- $f''(x)-xf(x)=0$ וגם פתרון כך ש- $f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2$ : נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ עם רדיוס התכנסות $R>0$ . לפיכך $f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}$ . צריך להתקיים $f''(x)=xf(x)$ ולכן $\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}$ ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: $\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n$ . את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו: ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים $2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}$ . מכאן ש- $a_0,a_1$ קבועים כלשהם, $a_2=0$ , ו- $a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}$ , לכן $a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots$ . מכאן נובע ש-
$\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}$
נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב- $a_0$ , היחס בין שני איברים עוקבים הוא $\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}$ , ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) $\infty$ . באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב- $a_1$ הוא $\infty$ ולכן $f(x)$ הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש- $|x-0|<\infty$ , כלומר $x\in\mathbb R$ . לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב- $\mathbb R$ . כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי $f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2$ : נזכר ש- $\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ ולכן $3=f^{(0)}(0)=0!a_0$ , כלומר $a_0=3$ וגם $-2=f^{(1)}(0)=1!a_1$ , כלומר $a_1=-2$ . מציבים ערכים אלו של $a_1,a_0$ בפתרון הכללי שמצאנו ל- $f(x)$ וסיימנו את התרגיל. $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-{{הערה|את משפט 3 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-24.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}
+{{המשך הגיע|תיאור=משפט 3|תאריך=24.5.11}}
 =טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}=
@@ שורה 29: / שורה 29: @@
 # גם <math>f(x)=f'(x)</math> היא מד"ר, ופתרונה <math>f(x)=ae^x</math> עבור קבוע a.
 # <math>f''(x)=-f(x)</math>. ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה <math>a\sin(x)+b\cos(x)</math> עבור a,b קבועים.
-# {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/31.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים <math>2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}</math>. מכאן ש-<math>a_0,a_1</math> קבועים כלשהם, <math>a_2=0</math>, ו-<math>a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}</math>, לכן <math>a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}</math>}}נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-<math>a_0</math>, היחס בין שני איברים עוקבים הוא <math>\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}</math>, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) <math>\infty</math>. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-<math>a_1</math> הוא <math>\infty</math> ולכן <math>f(x)</math> הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-<math>|x-0|<\infty</math>, כלומר <math>x\in\mathbb R</math>. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-<math>\mathbb R</math>. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי <math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נזכר ש-<math>\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math> ולכן <math>3=f^{(0)}(0)=0!a_0</math>, כלומר <math>a_0=3</math> וגם <math>-2=f^{(1)}(0)=1!a_1</math>, כלומר <math>a_1=-2</math>. מציבים ערכים אלו של <math>a_1,a_0</math> בפתרון הכללי שמצאנו ל-<math>f(x)</math> וסיימנו את התרגיל. {{משל}}
+# {{הערה|(דוגמה יותר קשה)}} נמצא פתרון כללי ל-<math>f''(x)-xf(x)=0</math> וגם פתרון כך ש-<math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. לפיכך <math>f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}</math>. צריך להתקיים <math>f''(x)=xf(x)</math> ולכן <math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1}</math> ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: <math>\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n</math>. {{המשך סיכום|תאריך=31.5.11}} ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים <math>2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}</math>. מכאן ש-<math>a_0,a_1</math> קבועים כלשהם, <math>a_2=0</math>, ו-<math>a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}</math>, לכן <math>a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots</math>. מכאן נובע ש-{{left|<math>\begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}</math>}}נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-<math>a_0</math>, היחס בין שני איברים עוקבים הוא <math>\left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}</math>, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) <math>\infty</math>. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-<math>a_1</math> הוא <math>\infty</math> ולכן <math>f(x)</math> הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-<math>|x-0|<\infty</math>, כלומר <math>x\in\mathbb R</math>. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-<math>\mathbb R</math>. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי <math>f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2</math>: נזכר ש-<math>\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math> ולכן <math>3=f^{(0)}(0)=0!a_0</math>, כלומר <math>a_0=3</math> וגם <math>-2=f^{(1)}(0)=1!a_1</math>, כלומר <math>a_1=-2</math>. מציבים ערכים אלו של <math>a_1,a_0</math> בפתרון הכללי שמצאנו ל-<math>f(x)</math> וסיימנו את התרגיל. {{משל}}

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11"

גרסה מ־20:54, 29 ביולי 2012

תוכן עניינים

טורי חזקות (המשך)

משפט 4

הוכחה

מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)

הוכחה

הערה

דוגמאות

מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)

דוגמאות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים