הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תכונות של הערך המוחלט)
(←‏תכונות של הערך המוחלט)
שורה 43: שורה 43:
 
**<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math>
 
**<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math>
 
**<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math>
 
**<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math>
 +
 +
 +
==תרגילים==
 +
 +
'''תרגיל''': הוכח את אי שיוויון המשולש
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''': הוכח כי <math>||x|-|y||\leq |x-y|</math>
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''': יהיו <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math> מספרים ממשיים. יהי <math>0<\epsilon\in\mathbb{R} </math> מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:
 +
 +
::<math>|x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2}</math>
 +
 +
 +
הוכח כי <math>|x-z|\leq \epsilon</math>
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
 +
::<math>|2x-1|>|x-1|</math>

גרסה מ־06:17, 2 באוגוסט 2012

ערך מוחלט

הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:

|7|=|-7|=7

ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:

|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}


תכונות של הערך המוחלט

  • לכל x מתקיים |x|\geq 0


  • |x|=0 אם ורק אם x=0


  • |x\cdot y| = |x|\cdot |y|


  • x\leq |x|


  • אי שיוויון המשולש: |x+y|\leq |x|+|y|


  • ||x|-|y||\leq |x-y|


  • |x-y| הוא המרחק בין x לבין y


  • נניח L\geq 0 אזי
    • |x|\leq L אם ורק אם -L\leq x\leq L
    • |x|\geq L אם ורק אם x\geq L או x\leq -L


תרגילים

תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש


תרגיל: הוכח כי ||x|-|y||\leq |x-y|


תרגיל: יהיו x,y,z\in\mathbb{R} מספרים ממשיים. יהי 0<\epsilon\in\mathbb{R} מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:

|x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2}


הוכח כי |x-z|\leq \epsilon


תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

|2x-1|>|x-1|
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למחלקת_מתמטיקה/מערכי_שיעור/2&oldid=25044