הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/2"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־06:43, 2 באוגוסט 2012

תוכן עניינים

1 ערך מוחלט ואי שיוויונים
2 אי שיוויונים מעריכיים

ערך מוחלט ואי שיוויונים

הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:

|7|=|-7|=7

ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:

|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}

תכונות של הערך המוחלט

לכל x מתקיים $|x|\geq 0$

$|x|=0$ אם ורק אם $x=0$

$|x\cdot y| = |x|\cdot |y|$

$x\leq |x|$

אי שיוויון המשולש: $|x+y|\leq |x|+|y|$

$||x|-|y||\leq |x-y|$

$|x-y|$ הוא המרחק בין x לבין y

נניח אזי
- $|x|\leq L$ אם ורק אם $-L\leq x\leq L$
- $|x|\geq L$ אם ורק אם $x\geq L$ או $x\leq -L$

תכונות של אי שיוויונים

$x\leq y$ אם ורק אם $-x\geq -y$

נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $x^2\leq y^2$

נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$

תרגילים

תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש

תרגיל: הוכח כי $||x|-|y||\leq |x-y|$

תרגיל: יהיו $x,y,z\in\mathbb{R}$ מספרים ממשיים. יהי $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:

|x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2}

הוכח כי $|x-z|\leq \epsilon$

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

|2x-1|>|x-1|

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

(x-a)(x-b)>0

(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

|x^2-5x+4|>|x^2-5x|

אי שיוויונים מעריכיים

נניח $a>1$ , אזי

a^x\leq a^y

אם ורק אם

x\leq y

תרגיל: נניח כי $a<1$ הוכח כי:

a^x\leq a^y

אם ורק אם

x\geq y

תרגיל: מצא לאילו ערכים של $a,x$ מתקיים אי השיוויון הבא:

a^x<1

תרגיל: מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

|x-1|^{x^2+2x} < \frac{1}{|x-1|}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למחלקת_מתמטיקה/מערכי_שיעור/2&oldid=25049