הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3"
מתוך Math-Wiki
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
||
שורה 49: | שורה 49: | ||
*מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math> | *מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math> | ||
+ | |||
+ | נסמן ב<math>(x,y,z)</math>. הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: <math>x+2y+3z=x+4y+5z=0</math>. | ||
+ | |||
+ | נבחר <math>x=1</math> ונקבל <math>y=1,z=-1</math>. לכן התשובה היא <math>(1,1,-1)</math> | ||
*מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math> | *מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math> | ||
+ | |||
+ | נסמן ב<math>t(1,2,2)</math>. נחשב את האורך: | ||
+ | |||
+ | <math>1=\sqrt{(t)^2+(2t)^2+(2t)^2}=\sqrt{9t^2}=3t</math>. לכן <math>t=\frac{1}{3}</math> לכן הוקטור הוא: <math>(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})</math> | ||
גרסה מ־22:44, 17 באוגוסט 2012
1
- חשב את הסכום
[רמז: סכום סדרה הנדסית , ומשפט דה-מואבר]
נסמן
לפי דה מואבר:
לכן:
לכן הסכום המבוקש שווה . נחשב:
בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית:
- מצא את כל הפתרונות של המשוואה
נמצא את ההצגה הפולארית של :
לכן המשוואה היא:
לכן לפי דה מואבר נקבל:
הפתרונות מתקבלים כאשר נציב
2
- מצא את ההיטל של הוקטור על הישר הנפרש על ידי הוקטור
נסמן את הוקטור הרצוי ב. ההפרש בין וקטור זה לבין צריך להיות מאונך ל לכן נקבל:
נקבל ואז הוקטור הוא
- מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו
נסדר את המשוואה לצורה . לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא .
- מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים
נסמן ב. הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: .
נבחר ונקבל . לכן התשובה היא
- מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור
נסמן ב. נחשב את האורך:
. לכן לכן הוקטור הוא:
- מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור
- מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור ועובר בנקודה
- מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור הינה . כמה כאלה יש?
- הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).
[רמז: השתמש בזהות הידועה ]