הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
||
(6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 36: | שורה 36: | ||
*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math> | *מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math> | ||
− | נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t(2,2)</math>. | + | נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t(2,2)</math>. ההפרש בין וקטור זה לבין <math>(1,2)</math> צריך להיות מאונך ל<math>(2,2)</math> לכן נקבל: |
− | <math>\ | + | <math>0 = (2,2) \cdot ((1,2)-t(2,2)) = (2,2) \cdot (1-2t,2-2t) = 2-4t+4-4t = 6-8t</math> |
+ | |||
+ | נקבל <math>t=\frac{3}{4}</math> ואז הוקטור הוא <math>(\frac{3}{2},\frac{3}{2})</math> | ||
*מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו <math>3x-1=y</math> | *מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו <math>3x-1=y</math> | ||
+ | |||
+ | נסדר את המשוואה לצורה <math>3x-y=1</math>. לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא <math>(3,-1)</math>. | ||
*מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math> | *מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math> | ||
+ | |||
+ | נסמן ב<math>(x,y,z)</math>. הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: <math>x+2y+3z=x+4y+5z=0</math>. | ||
+ | |||
+ | נבחר <math>x=1</math> ונקבל <math>y=1,z=-1</math>. לכן התשובה היא <math>(1,1,-1)</math> | ||
*מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math> | *מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math> | ||
+ | |||
+ | נסמן ב<math>t(1,2,2)</math>. נחשב את האורך: | ||
+ | |||
+ | <math>1=\sqrt{(t)^2+(2t)^2+(2t)^2}=\sqrt{9t^2}=3t</math>. לכן <math>t=\frac{1}{3}</math> לכן הוקטור הוא: <math>(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})</math> | ||
*מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור <math>u</math> | *מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור <math>u</math> | ||
+ | |||
+ | נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t \cdot u</math>. נחשב את האורך: <math>1=|t \cdot u| = t \cdot |u|</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן <math>t=\frac{1}{|u|}</math> לכן הוקטור הרצוי הוא <math>\frac{1}{|u|} \cdot u</math> | ||
*מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math> | *מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math> | ||
+ | |||
+ | כל מישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> הוא מהצורה <math>x-y+5z=D</math>. נציב את הוקטור <math>(1,1,1)</math> ונקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>D=5</math>. לכן המישור הרצוי הוא <math>x-y+5z=5</math>. | ||
*מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור <math>(1,4)</math> הינה <math>\frac{\pi}{3}</math>. כמה כאלה יש? | *מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור <math>(1,4)</math> הינה <math>\frac{\pi}{3}</math>. כמה כאלה יש? | ||
+ | |||
+ | נסמן את הוקטור ב<math>(x,y)</math>. לפי הנוסחה לזווית בין וקטורים: | ||
+ | |||
+ | <math>cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}=\frac{(x,y)(1,4)}{1\cdot |(1,4)|}=\frac{x+4y}{\sqrt{17}}</math> | ||
+ | |||
+ | נבודד את x: <math>x=-4y+\sqrt{17} /2</math>. ידוע שאורך הוקטור 1 לכן: <math>1=(-4y+\sqrt{17}/2)^2+y^2=17y^2-4\sqrt{17}y+17/4</math> | ||
+ | |||
+ | יש שני פתרונות: <math>y=\frac{4\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{17}}</math>. נמצא את הערכים המתאימים של x: | ||
+ | |||
+ | <math>(\frac{1+4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})</math> | ||
+ | |||
+ | <math>(\frac{1-4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4+\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})</math> | ||
שורה 62: | שורה 94: | ||
['''רמז''': השתמש בזהות הידועה <math>(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math>] | ['''רמז''': השתמש בזהות הידועה <math>(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math>] | ||
+ | |||
+ | ניעזר ברמז: <math>0 \leq (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math> לכן לכל a,b ממשיים מתקיים: <math>2ab \leq a^2+b^2</math>. | ||
+ | |||
+ | נפתח את הביטוי <math>|u \cdot v|^2</math>: | ||
+ | |||
+ | <math>|u \cdot v|^2 = |(u_1,u_2)(v_1,v_2)|^2=|(u_1v_1+u_2v_2)|^2=u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2</math> | ||
+ | |||
+ | נסמן <math>a=u_1v_2,b=u_2v_1</math> ולפי הרמז נקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2 \leq u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2=(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=|u|^2|v|^2</math> | ||
+ | |||
+ | סה"כ קיבלנו: <math>|u \cdot v|^2 \leq |u|^2|v|^2</math>. נוציא שורש משני האגפים ונקבל: <math>|u \cdot v| \leq |u| \cdot |v|</math> | ||
+ | |||
+ | [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%99%D7%95%D7%9F_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%A8%D7%A5 אי שוויון קושי-שוורץ] |
גרסה אחרונה מ־23:44, 17 באוגוסט 2012
1
- חשב את הסכום
[רמז: סכום סדרה הנדסית , ומשפט דה-מואבר]
נסמן
לפי דה מואבר:
לכן:
לכן הסכום המבוקש שווה . נחשב:
בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית:
- מצא את כל הפתרונות של המשוואה
נמצא את ההצגה הפולארית של :
לכן המשוואה היא:
לכן לפי דה מואבר נקבל:
הפתרונות מתקבלים כאשר נציב
2
- מצא את ההיטל של הוקטור על הישר הנפרש על ידי הוקטור
נסמן את הוקטור הרצוי ב. ההפרש בין וקטור זה לבין צריך להיות מאונך ל לכן נקבל:
נקבל ואז הוקטור הוא
- מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו
נסדר את המשוואה לצורה . לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא .
- מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים
נסמן ב. הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: .
נבחר ונקבל . לכן התשובה היא
- מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור
נסמן ב. נחשב את האורך:
. לכן לכן הוקטור הוא:
- מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור
נסמן את הוקטור הרצוי ב. נחשב את האורך: .
לכן לכן הוקטור הרצוי הוא
- מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור ועובר בנקודה
כל מישור המאונך לוקטור הוא מהצורה . נציב את הוקטור ונקבל:
. לכן המישור הרצוי הוא .
- מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור הינה . כמה כאלה יש?
נסמן את הוקטור ב. לפי הנוסחה לזווית בין וקטורים:
נבודד את x: . ידוע שאורך הוקטור 1 לכן:
יש שני פתרונות: . נמצא את הערכים המתאימים של x:
- הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).
[רמז: השתמש בזהות הידועה ]
ניעזר ברמז: לכן לכל a,b ממשיים מתקיים: .
נפתח את הביטוי :
נסמן ולפי הרמז נקבל:
סה"כ קיבלנו: . נוציא שורש משני האגפים ונקבל: