הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4"
מתוך Math-Wiki
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←תרגילים - שיוויונים) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←תרגילים - שיוויונים) |
||
שורה 24: | שורה 24: | ||
*<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math> | *<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\Big(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}\Big)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}</math> | ||
+ | |||
+ | השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי הוא פישוט שני המחוברים האחרונים | ||
גרסה מ־16:58, 18 באוגוסט 2012
בכל התרגילים צריך לבדוק גם את המקרה ההתחלתי עבור n=1 אבל דילגתי על זה כי זה פשוט. בכולם אני מניח שהטענה נכונה עבור n ומוכיח שמכך נובע שהיא נכונה גם עבור n+1.
תרגילים - שיוויונים
השוויון הראשון נכון לפי הנוסחה . השוויון השני נכון לפי סכום סדרה חשבונית. השוויון השלישי הוא כינוס איברים והשוויון האחרון נכון לפי הנחת האינדוקציה.
השוויון הראשון הוא הוספה והחסרה של אותו איבר. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי נכון לפי הנחת האינדוקציה ופתיחת סוגריים. השוויון האחרון הוא לפי פתיחת סוגריים ופירוק לגורמים.
השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי הוא פישוט שני המחוברים האחרונים