הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 2"
(←שאלה 4) |
(←שאלה 4) |
||
שורה 29: | שורה 29: | ||
('''הדרכה:''' נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה) | ('''הדרכה:''' נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה) | ||
− | ב. הראו שהדרישה <math>\mu \left( E_1 \right)< \infty</math> היא הכרחית. | + | ב. הראו שהדרישה <math>\mu \left( E_1 \right)< \infty</math> היא הכרחית (כלומר אם נוותר עליה, נוכל למצוא דוגמא נגדית). |
בהצלחה! | בהצלחה! |
גרסה מ־16:24, 8 בנובמבר 2012
שאלה 1
הוכיחו כי לכל קטע בעל מידה חיובית יש תת קבוצה לא מדידה. (הסתמכו על התרגיל הקודם).
שאלה 2
א. הוכיחו שקבוצת קנטור הטרנארית (זו מהתרגול) היא קומפקטית.
ב. הוכיחו שהפְּנים של קבוצת קנטור הוא ריק (קבוצות כאלה נקראות "קבוצות דלילות").
ג. הראו שקבוצת קנטור אינה איחוד בן-מנייה של קטעים סגורים (סעיף זה מראה שקבוצה סגורה ב- אינה בהכרח איחוד בן מנייה של קטעים סגורים - בניגוד למקרה של קבוצה פתוחה וקטעים פתוחים)
ד. הוכיחו כי , למרות שרבע הוא אינו קצה של אף קטע בקבוצות (רמז: נסו לפתח את רבע בבסיס 3).
שאלה 3
תהי קבוצה כלשהי, ו- אוסף תתי הקבוצות של שהן בנות מנייה, או שהמשלים שלהן בן מנייה (כלומר או"א בת מנייה, או בת מנייה).
א. הוכיחו כי היא -אלגברה מעל .
ב. נגדיר ע"י . הוכיחו כי זו מידה.
שאלה 4
יהי ממ"ח.
א. הוכיחו שאם היא סדרת קבוצות יורדת (כלומר ), ואם , אזי
(הדרכה: נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה)
ב. הראו שהדרישה היא הכרחית (כלומר אם נוותר עליה, נוכל למצוא דוגמא נגדית).
בהצלחה!