הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 9"
(יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == יהיו הממ"חים <math>(X,\mathcal S,\mu)=(Y, \mathcal T, \nu)=(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N), \#)</math>, כאשר <math>\#</math> היא...") |
|||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 25: | שורה 25: | ||
− | == שאלה 3 == | + | == שאלה 3 ('''בונוס''' בשווי 15 נקודות) == |
השתמשו בזהות <math>\frac{1}{x}=\int_0^\infty e^{-xy} dy</math> ובמשפט פוביני כדי לחשב את <math>\int_0^b \int_0^\infty e^{-xy} \sin{x} \,dy \,dx </math> בשתי דרכים שונות. | השתמשו בזהות <math>\frac{1}{x}=\int_0^\infty e^{-xy} dy</math> ובמשפט פוביני כדי לחשב את <math>\int_0^b \int_0^\infty e^{-xy} \sin{x} \,dy \,dx </math> בשתי דרכים שונות. | ||
שורה 46: | שורה 46: | ||
יהי <math>(X,\| \cdot \|)</math> מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי <math>Y \le X</math> תת מרחב סגור. הוכיחו כי <math>(Y,\| \cdot \|)</math> הוא מרחב בנך. | יהי <math>(X,\| \cdot \|)</math> מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי <math>Y \le X</math> תת מרחב סגור. הוכיחו כי <math>(Y,\| \cdot \|)</math> הוא מרחב בנך. | ||
− | |||
− |
גרסה אחרונה מ־15:36, 3 בינואר 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
יהיו הממ"חים , כאשר היא מידת הספירה.
נגדיר פונקציה ע"י .
א. מהו מלבן מדיד במרחב המכפלה ?
ב. הוכיחו כי מדידה במרחב המכפלה.
ג. הוכיחו כי מתקיים
ד. הסבירו מדוע סעיף ג' לא סותר את משפטי פוביני וטונלי.
שאלה 2 (שאלה מס' 3 במבחן שנת תשע"א)
א. אפיינו קבוצות מדידות ביחס למידת המכפילה .
ב. צטטו את משפט טונלי.
ג. נניח ש- ו- הם שני מרחבי מידה חיובית, כאשר המידות ו- שלימות ו--סופיות. כרגיל נגדיר את מידת המכפילה . תהי מדידה , ותהי .
הוכיחו שלכמעט כל הקבוצה מקיימת .
יש לפתור רק את סעיף ג'
שאלה 3 (בונוס בשווי 15 נקודות)
השתמשו בזהות ובמשפט פוביני כדי לחשב את בשתי דרכים שונות.
ע"י זה הוכיחו כי .
אינטגרל שימושי:
הערה: האינטגרלים מתכנסים בהחלט, ולכן אפשר היה לרשום במקום .
שאלה 4
יהי אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים . ברור כי הוא מרחב וקטורי (אין צורך להוכיח זאת).
לכל פולינום נגדיר את להיות הסכום של הערכים המוחלטים של המקדמים של .
האם היא נורמה על ? ואם לא, אילו מאקסיומות הנורמה היא מקיימת?
שאלה 5
יהי מרחב בנך (מרחב נורמי שלם). ויהי תת מרחב סגור. הוכיחו כי הוא מרחב בנך.