הבדלים בין גרסאות בדף "ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"
מתוך Math-Wiki
שורה 43: | שורה 43: | ||
שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>. | שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>. | ||
+ | |||
+ | שיטה שנייה: לפי המשפט. | ||
+ | <math>\lambda I_n-I_n=\begin{pmatrix} | ||
+ | \lambda-1 & &0 \\ | ||
+ | & \ddots & \\ | ||
+ | 0 & & \lambda-1 | ||
+ | \end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(lambda-1)^n=0</math> <math>Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>. |
גרסה מ־10:16, 5 בינואר 2013
חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)
הערה:
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, הוא מרחב וקטורי מעל השדה
, וכן
.
בנוסף,
.
הגדרה:
העתקה לינארית (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.
הגדרה:
תהי . אומרים ש-
הוא ערך עצמי של
אם קיים וקטור
שעבורו
. הוקטור
נקרא וקטור עצמי של
הקשור ל-
.
הגדרה:
אוסף כל הערכים העצמיים של נקרא הספקטרום של
, ומסומן
.
הערה:
יכול להיות המצב .
משפט:
הוא ע"ע של
אם ורק אם
אינה הפיכה.
הערה:
אינה הפיכה אם ורק אם
.
משפט:
הוא ע"ע של מטריצה
אם ורק אם
.
דוגמות למציאת ע"ע:
1. .
שיטה ראשונה:
.
שיטה שנייה: לפי המשפט.
, כלומר
, ומכאן
.