הבדלים בין גרסאות בדף "הפולינום האופייני ותכונות של פולינומים"
מתוך Math-Wiki
(4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
חזרה ל[[סיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)]] | חזרה ל[[סיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)]] | ||
+ | |||
''הערה:'' | ''הערה:'' | ||
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, <math>V</math> הוא מרחב וקטורי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>, וכן <math>dim V=n</math>. | בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, <math>V</math> הוא מרחב וקטורי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math>, וכן <math>dim V=n</math>. | ||
בנוסף, <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. | בנוסף, <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. | ||
+ | |||
'''הגדרה:''' | '''הגדרה:''' | ||
+ | |||
+ | תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית מגודל <math>n\times n</math>. <math>p_A (x)=det(xI_n-A)</math> נקרא הפולינום האופייני של המטריצה <math>A</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''הערות:'' | ||
+ | |||
+ | 1. השורשים של <math>p_A (x)</math> הם ע"ע של <math>A</math>. | ||
+ | |||
+ | 2. אם <math>A=\begin{pmatrix} | ||
+ | \lambda_1 & & \ast \\ | ||
+ | & \ddots & \\ | ||
+ | 0 & & \lambda_n | ||
+ | \end{pmatrix}</math> מטריצה משולשית (אפשר גם תחתונה וגם עליונה), אזי <math>p_A(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-\lambda_i)</math>. | ||
+ | |||
+ | 3. <math>p_A(x)</math> הוא פולינום מתוקן, כלומר המקדם הראשי / המוביל (לפני החזקה הכי גבוהה) שווה ל-1. | ||
+ | |||
+ | 4. <math>deg(p_A(x))=n</math>. | ||
+ | |||
+ | 5. אם <math>p_A(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>, אזי <math>a_0=(-1)^n det(A)</math>, וכן <math>a_{n-1}=-tr(A)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''הערה:'' | ||
+ | ל[[דמיון מטריצות|מטריצות דומות]] אותו הפולינום האופייני. בכיוון ההפוך לא נכון. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' | ||
+ | |||
+ | יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. נגדיר <math>p_T(x)=p_A(x)</math> כאשר <math>A</math> היא המטריצה המייצגת של <math>T</math> ביחס לבסיס <math>B</math> כלשהו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''הערה:'' | ||
+ | <math>p_T(x)</math> מוגדר היטב בגלל ההערה הקודמת. |
גרסה אחרונה מ־11:17, 7 בינואר 2013
חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)
הערה:
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, הוא מרחב וקטורי מעל השדה , וכן .
בנוסף, .
הגדרה:
תהי מטריצה ריבועית מגודל . נקרא הפולינום האופייני של המטריצה .
הערות:
1. השורשים של הם ע"ע של .
2. אם מטריצה משולשית (אפשר גם תחתונה וגם עליונה), אזי .
3. הוא פולינום מתוקן, כלומר המקדם הראשי / המוביל (לפני החזקה הכי גבוהה) שווה ל-1.
4. .
5. אם , אזי , וכן .
הערה:
למטריצות דומות אותו הפולינום האופייני. בכיוון ההפוך לא נכון.
הגדרה:
יהי אופרטור לינארי. נגדיר כאשר היא המטריצה המייצגת של ביחס לבסיס כלשהו.
הערה:
מוגדר היטב בגלל ההערה הקודמת.