הבדלים בין גרסאות בדף "Mathwiki:ארגז חול"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 10: שורה 10:
  
 
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
 
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
 +
 +
 +
==קישור==
 +
 +
[[file:flower.jpg|200px|link=http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%A1%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D:%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94]]

גרסה מ־21:17, 7 ביולי 2013

שאלה

אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה: ככה: T נורמלי הוכח ש- im(T)=im(T^*)


הוכחה

דבר ראשון נוכיח שker(T)=ker(T^*). נניח v \in kerT לכן Tv=0 ולכן \forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0 אבל T^*T=TT^* ולכן \forall u: <TT^*v,u>=0 ולכן \forall u: <T^*v,T^*u>=0 ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <T^*v,T^*v>=0 ולכן T^*v=0 כלומר v \in ker T^*. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.


עכשיו נוכיח את הטענה. v \in kerT אם"ם \forall u: <Tv,u>=0 אם"ם \forall u: <v,T^*u>=0 אם"ם v \in (ImT^*)^\bot ולכן kerT = (ImT^*)^\bot. בצורה דומה kerT^*=(ImT)^\bot. אבל הגרעינים שווים ולכן (ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).


קישור

Flower.jpg

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=Mathwiki:ארגז_חול&oldid=35474