הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"
מ (←הקדמה - הגדרות) |
|||
(6 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 3: | שורה 3: | ||
===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף=== | ===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף=== | ||
[[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]] | [[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]] | ||
− | נתון הגרף של y=x | + | נתון הגרף של <math>y=x^2</math> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>. |
נחלק את הקטע: | נחלק את הקטע: | ||
{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}} | {{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}} | ||
כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>). | כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>). | ||
− | מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. | + | מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם" {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}} |
− | כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}} | + | כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום" {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}} |
− | כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל | + | כעת, אם A מציין את השטח שמתחת לגרף, בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל |
<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}} | <math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}} | ||
שורה 19: | שורה 19: | ||
− | '''הגדרה:''' תהי | + | '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. |
''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>. | ''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>. | ||
==משפט 0== | ==משפט 0== | ||
− | אם | + | אם F ו-G קדומות ל-f בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math> |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. | + | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}} |
---- | ---- | ||
שורה 36: | שורה 36: | ||
תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. | תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. | ||
# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>. | # לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>. | ||
− | # אם | + | # אם F קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=F(b)-F(a)</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
[[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png|ימין|ממוזער|350px]] | [[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png|ימין|ממוזער|350px]] | ||
− | # יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק | + | # יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק ו-<math>=\Delta x</math> בסיס החלק הירוק. לפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן <math>=A'(x)</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר <math>\Delta x\to0</math>) <math>f(x)=</math>. {{משל}} |
− | # נתונה פונקציה קדומה | + | # נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> ולכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}} |
=האינטגרל לפי דרבו= | =האינטגרל לפי דרבו= | ||
==הקדמה - הגדרות== | ==הקדמה - הגדרות== | ||
− | [[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px]] | + | [[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px|ממוזער]] |
− | תהי | + | תהי f מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f</math> ו- <math>M:=\sup f</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega:=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math> כקבוצה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> המקיימת: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות <math>\Delta x_k:=x_k-x_{k-1}</math> ואת הפרמטר של P להיות <math>\lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k</math>. |
− | { | + | |
− | עוד נגדיר לכל | + | |
− | לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר | + | לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר גם <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. בהתאם לכך נגדיר: |
− | <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. | + | * שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math> |
− | + | * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> | |
− | בהתאם לכך נגדיר: | + | |
− | * שטח חוסם - הסכום העליון: <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math> | + | |
− | * שטח חסום - הסכום התחתון: <math>\underline S( | + | |
==משפט 1== | ==משפט 1== | ||
שורה 64: | שורה 59: | ||
{{=|l=m(b-a) | {{=|l=m(b-a) | ||
|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k | |r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k | ||
− | |c=<math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> | + | |c=<math>=\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה <math>b-a=</math>, לכן: |
}} | }} | ||
{{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P) | {{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P) | ||
שורה 86: | שורה 81: | ||
==הגדרת האינטגרל לפי דרבו== | ==הגדרת האינטגרל לפי דרבו== | ||
− | תהי | + | תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>. |
===דוגמה=== | ===דוגמה=== | ||
שורה 92: | שורה 87: | ||
נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | ||
− | לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. | + | לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. {{משל}} |
− | + | ||
− | מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math> | + | |
שורה 103: | שורה 96: | ||
==משפט 2== | ==משפט 2== | ||
− | תהי | + | תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>, תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי |
{{left| | {{left| | ||
<math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> | <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> | ||
שורה 119: | שורה 112: | ||
לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}} | לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}} | ||
− | {{ | + | {{המשך סיכום|תאריך=22.2.11}} |
כמו כן, | כמו כן, |
גרסה אחרונה מ־14:17, 12 באוגוסט 2013
נושא ראשון:
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
תוכן עניינים
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף של ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע . נחלק את הקטע:
כך שבאופן כללי (בגרף מוצג המקרה הפרטי ).
מעל כל תת קטע נבנה "מלבן חוסם" שגובהו . שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם" כמו כן, מעל כל תת קטע נבנה "מלבן חסום" שגובהו . ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום"כעת, אם A מציין את השטח שמתחת לגרף, בוודאי ש-, ז"א . הדבר נכון לכל ולכן נוכל להשאיף את ולקבל , לכן .
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם .
דוגמה: אם אז .
משפט 0
אם F ו-G קדומות ל-f בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן . מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-.
הגדרה אינטואיטיבית: תהי רציפה בקטע . נסמן ב- את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-.
- לכל נגדיר אזי .
- אם F קדומה ל-f ב- אז .
הוכחה
- יהי x נתון. לפי ההגדרה . בגרף: השטח של החלק הירוק ו- בסיס החלק הירוק. לפיכך הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר ) .
- נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש- ולכן .
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי f מוגדרת וחסומה ע"י ו- בקטע . נגדיר את התנודה של f ע"י . כעת נגדיר חלוקה P של כקבוצה המקיימת: . עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות ואת הפרמטר של P להיות .
לכל k כך ש- נגדיר גם וכן . בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה , לכן: | ||||||
לכל k מתקיים . | ||||||
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון" .
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב- אם ואם הם שווים אז נגדיר להיות הערך המשותף של ו-.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה . נקח חלוקה כלשהי ל-: .
לכל k מתקיים וכן . לכן ואילו . מכאן ו-, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי f מוגדרת וחסומה ב-, תהי P חלוקה של ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי
(נזכיר ש- ו-)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת כך ש- עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר ו-. כמו כן, לא שינינו כל תת קטע עבור כלשהו. לכן
לפי ההגדרות ולפיכךאת ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
כמו כן,
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק .
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי .
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים .
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של מתקיים ולכן . כמו כן, לפי ההגדרה ו-.