הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
מ (←‏דוגמאות)
 
שורה 21: שורה 21:
 
# נמצא את טור מקלורין של <math>f(x)=\arctan(x)</math>, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.<br/>''דרך 1:'' טור מקלורין הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>, כאשר {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}</math>}}מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.<br/>''דרך 2:'' תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה <math>g(x)=\frac1{1+x^2}</math> ואז נוכל לקבל את הטור עבור <math>\arctan(x)</math> ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: <math>\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}</math> עבור <math>\left|-x^2\right|<1</math>, ז"א <math>|x|<1</math>. עתה נעשה אינטגרציה: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt</math> לכל <math>|x|<1</math>, ולכן <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math>. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של <math>\arctan</math> בתחום <math>(-1,1)</math>. {{משל}} אם מותר להציב <math>x=1</math> אז נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots</math>, אבל מכיוון שלא מתקיים <math>|1|<1</math> צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-<math>\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)</math>.
 
# נמצא את טור מקלורין של <math>f(x)=\arctan(x)</math>, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.<br/>''דרך 1:'' טור מקלורין הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>, כאשר {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}</math>}}מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.<br/>''דרך 2:'' תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה <math>g(x)=\frac1{1+x^2}</math> ואז נוכל לקבל את הטור עבור <math>\arctan(x)</math> ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: <math>\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}</math> עבור <math>\left|-x^2\right|<1</math>, ז"א <math>|x|<1</math>. עתה נעשה אינטגרציה: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt</math> לכל <math>|x|<1</math>, ולכן <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math>. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של <math>\arctan</math> בתחום <math>(-1,1)</math>. {{משל}} אם מותר להציב <math>x=1</math> אז נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots</math>, אבל מכיוון שלא מתקיים <math>|1|<1</math> צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-<math>\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)</math>.
 
# מצאו את טור טיילור ל-<math>\ln(x)</math> סביב <math>x_0=1</math> וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-<math>\ln(x)</math>.<br/>''דרך 1:'' לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n</math> ואז נבדוק מתי השארית <math>R_N(x)</math> שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).<br/>''דרך 2:'' <math>\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t</math> ולכן תחילה נפתח <math>\frac1x</math>: <math>\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n</math> כאשר <math>|x-1|<1</math>. כעת <math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> בתחום <math>|x-1|<1</math>. {{משל}} עבור <math>x=2</math> לא מתקיים <math>|x-1|<1</math>, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל <math>\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots</math> (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
 
# מצאו את טור טיילור ל-<math>\ln(x)</math> סביב <math>x_0=1</math> וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-<math>\ln(x)</math>.<br/>''דרך 1:'' לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n</math> ואז נבדוק מתי השארית <math>R_N(x)</math> שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).<br/>''דרך 2:'' <math>\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t</math> ולכן תחילה נפתח <math>\frac1x</math>: <math>\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n</math> כאשר <math>|x-1|<1</math>. כעת <math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> בתחום <math>|x-1|<1</math>. {{משל}} עבור <math>x=2</math> לא מתקיים <math>|x-1|<1</math>, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל <math>\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots</math> (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
−
# {{הערה|(תרגיל ממבחן)}} נגדיר <math>f(x)=x^7e^{-x^2}</math>. מצאו <math>f^{(19)}(0)</math>: לכל <math>t\in\mathbb R</math> מתקיים <math>e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}</math> ונציב <math>t=-x^2</math> לקבל <math>f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}</math>. לפי משפט 4 המקדם <math>a_{19}</math> של <math>x^{19}</math> מקיים <math>a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}</math> ולכן <math>f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}</math>. {{משל}}
+
# {{הערה|(תרגיל ממבחן)}} נגדיר <math>f(x)=x^7e^{-x^2}</math>. מצאו <math>f^{(19)}(0)</math>: לכל <math>t\in\mathbb R</math> מתקיים <math>e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}</math> ונציב <math>t=-x^2</math> לקבל <math>f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}</math>. לפי משפט 4 המקדם <math>a_{19}</math> של <math>x^{19}</math> מקיים <math>a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}</math> ולכן <math>f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}</math>. {{משל}}
  
 
==מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)==
 
==מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)==

גרסה אחרונה מ־14:32, 12 באוגוסט 2013

את משפט 3 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־29.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

טורי חזקות (המשך)

משפט 4

נניח שלטור f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n יש רדיוס התכנסות R>0, אזי:

  1. f גזירה אינסוף פעמים בקטע (x_0-R,x_0+R) ולכל k\in\mathbb N\cup\{0\} מתקיים f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}. רדיוס ההתכנסות של כל אחד מהטורים הגזורים הוא R.
  2. לכל k\in\mathbb N\cup\{0\}, a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב x_0.

הוכחה

  1. באינדוקציה, בעזרת משפט 3.
  2. הוכחנו בסעיף 1 ש-f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}. נציב x=x_0 ונקבל f^{(k)}(x_0)=\frac{k!}{(k-k)!}a_k+\underbrace{\frac{(k+1)!}{(k+1-k)!}a_{k+1}(x_0-x_0)}_{=0}+\dots=k!a_k, כלומר a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}. \blacksquare

מסקנה (משפט היחידות לטורי חזקות)

נניח ששני טורי חזקות שווים זה לזה בקטע שלם, כלומר \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n לכל x\in(a,b)\ne\varnothing, אזי \forall n:\ a_n=b_n.

הוכחה

נגדיר פונקציה גבולית f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n. עפ"י סעיף 2 של משפט 4 מתקיים a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}=b_n. \blacksquare

הערה

חשוב לא להתבלבל: יתכן בהחלט מצב בו \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_1)^n אבל a_n\ne b_n עבור n כלשהו.

דוגמאות

  1. נמצא את טור מקלורין \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n של הפונקציה f(x)=\frac1{1-x}: ידוע לנו ש-\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n עבור |x|<1. לפי משפט 4 טור זה הוא בהכרח טור טיילור של f סביב 0, כלומר זה טור מקלורן של f. \blacksquare
  2. נמצא טור טיילור של f(x)=\frac1{1-x} סביב x_0=\frac12, ז"א \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n.
    דרך 1:
    \begin{align}f(x)&=(1-x)^{-1}\\f'(x)&=(1-x)^{-2}\\f''(x)&=2(1-x)^{-3}\\f^{(3)}(x)&=6(1-x)^{-4}\\&\;\;\vdots\\f^{(n)}(x)&=n!(1-x)^{-n-1}\end{align}
    נציב x=\frac12 לקבל f\left(\frac12\right)=2,\ \dots,\ f^{(n)}\left(\frac12\right)=n!2^{n+1} ולכן הטור הוא \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\left(\frac12\right)}{n!}\left(x-\frac12\right)^n=\sum_{n=0}^\infty2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n. לצערנו עדיין לא ניתן לדעת בוודאות שהטור אכן מתכנס ל-f כי לא וידאנו שהשארית שואפת ל-0.
    דרך 2: \frac1{1-x}=\frac1{\frac12-\left(x-\frac12\right)}=2\frac1{1-2\left(x-\frac12\right)}=2\sum_{n=0}^\infty\left(2\left(x-\frac12\right)\right)^n. בניסיון השני קיבלנו את אותה התוצאה מהר יותר, והפעם אנו גם יודעים שהטור מתכנס ל-f כאשר \left|2\left(x-\frac12\right)\right|<1, כלומר כש-\left|x-\frac12\right|<\frac12. \blacksquare
    נסכם: \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+1}\left(x-\frac12\right)^n בקטע (0,1) ויש כאן שני טורי חזקות שונים לגמרי שמתכנסים לאותה פונקציה. זה לא סותר את משפט היחידות כי לטורים אלה יש מרכז שונה.
  3. נמצא את טור מקלורין של f(x)=\arctan(x), ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.
    דרך 1: טור מקלורין הוא \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n, כאשר
    \begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}
    מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.
    דרך 2: תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה g(x)=\frac1{1+x^2} ואז נוכל לקבל את הטור עבור \arctan(x) ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: \frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n} עבור \left|-x^2\right|<1, ז"א |x|<1. עתה נעשה אינטגרציה: \int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt לכל |x|<1, ולכן \arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של \arctan בתחום (-1,1). \blacksquare אם מותר להציב x=1 אז נקבל את המשוואה היפה \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots, אבל מכיוון שלא מתקיים |1|<1 צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right).
  4. מצאו את טור טיילור ל-\ln(x) סביב x_0=1 וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-\ln(x).
    דרך 1: לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל \sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n ואז נבדוק מתי השארית R_N(x) שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).
    דרך 2: \ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t ולכן תחילה נפתח \frac1x: \frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n כאשר |x-1|<1. כעת \ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1} בתחום |x-1|<1. \blacksquare עבור x=2 לא מתקיים |x-1|<1, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל \ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
  5. (תרגיל ממבחן) נגדיר f(x)=x^7e^{-x^2}. מצאו f^{(19)}(0): לכל t\in\mathbb R מתקיים e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} ונציב t=-x^2 לקבל f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}. לפי משפט 4 המקדם a_{19} של x^{19} מקיים a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!} ולכן f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}. \blacksquare

מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)

הגדרה: מד"ר היא משוואה המקשרת פונקציה נעלמת, נגזרותיה העוקבות ופונקציות אחרות ידועות.

דוגמאות

  1. f'(x)=\sin(x) היא מד"ר, שפתרונה הוא f(x)=-\cos(x)+c עבור קבוע c כלשהו.
  2. גם f(x)=f'(x) היא מד"ר, ופתרונה f(x)=ae^x עבור קבוע a.
  3. f''(x)=-f(x). ניתן להוכיח שכל הפתרונות האפשריים הם מהצורה a\sin(x)+b\cos(x) עבור a,b קבועים.
  4. (דוגמה יותר קשה) נמצא פתרון כללי ל-f''(x)-xf(x)=0 וגם פתרון כך ש-f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2: נעיר שניתן להוכיח שהפתרון אינו פונקציה אלמנטרית ולכן אין טעם לנחש. במקום, נניח שיש פתרון מהסוג f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n עם רדיוס התכנסות R>0. לפיכך f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}. צריך להתקיים f''(x)=xf(x) ולכן \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+1} ולאחר הזזת אינדקסים נקבל: \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n=\sum_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n. את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו: ממשפט היחידות לטורי חזקות מתקיים 2a_2=0\ \and\ \forall n\ge1:\ (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}. מכאן ש-a_0,a_1 קבועים כלשהם, a_2=0, ו-a_{n+2}=\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}, לכן a_3=\frac{a_1}{3\cdot2},\ a_4=\frac{a_1}{4\cdot3},\ a_5=0,\ a_6=\frac{a_3}{6\cdot5}=\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2},\ a_7=\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3},\ a_8=0,\ \dots. מכאן נובע ש-
    \begin{align}f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\&=a_0+a_1x+\frac{a_1}{3\cdot2}x^3+\frac{a_1}{4\cdot3}x^4+\frac{a_0}{6\cdot5\cdot3\cdot2}x^6+\frac{a_1}{7\cdot6\cdot4\cdot3}x^7+\dots\\&=a_0\left(1+\frac{x^3}{3\cdot2}+\frac{x^5}{6\cdot5\cdot3\cdot2}+\dots\right)+a_1\left(x+\frac{x^4}{4\cdot3}+\frac{x^7}{7\cdot6\cdot4\cdot3}+\dots\right)\end{align}
    נבדוק שהטורים האלה מתכנסים: בטור שמוכפל ב-a_0, היחס בין שני איברים עוקבים הוא \left.\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-3)(3n-4)\cdots}\right/\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)(3n-4)\cdots}=\frac{x^3}{3n(3n-1)}, ששואף ל-0, ולכן רדיוס ההתכנסות הוא (ממבחן המנה) \infty. באופן דומה מקבלים שרדיוס ההתכנסות של הטור המוכפל ב-a_1 הוא \infty ולכן f(x) הנ"ל מוגדרת לכל x כך ש-|x-0|<\infty, כלומר x\in\mathbb R. לפי משפט 4 טורים אלו גזירים אינסוף פעמים ובפרט פעמיים ב-\mathbb R. כמו כן נעיר שניתן להוכיח שקיבלנו את הפתרון הכללי למד"ר, ולכן נותר רק לבדוק מתי f(0)=3\ \and\ f'(0)=-2: נזכר ש-\forall n:\ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} ולכן 3=f^{(0)}(0)=0!a_0, כלומר a_0=3 וגם -2=f^{(1)}(0)=1!a_1, כלומר a_1=-2. מציבים ערכים אלו של a_1,a_0 בפתרון הכללי שמצאנו ל-f(x) וסיימנו את התרגיל. \blacksquare
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_הרצאה/29.5.11&oldid=36699