הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:אי שיוויונים של גבולות (סדרות)"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "נניח $x_n\to L$ אזי 1. לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$ 2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
(2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | \begin{thm} | ||
נניח $x_n\to L$ אזי | נניח $x_n\to L$ אזי | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$ | ||
− | + | \item לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$ | |
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{thm} | ||
− | + | \begin{proof} | |
− | + | אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\varepsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\varepsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2. | |
− | + | \end{proof} | |
− | + | \begin{cor} | |
− | \ | + | אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $ |
+ | \end{cor} | ||
− | \ | + | \begin{proof} |
− | + | אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים: | |
+ | $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n<p , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: y_n>p $$ | ||
+ | ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ . | ||
+ | \end{proof} | ||
− | + | \begin{cor}[גבול שומר על אי שיוויון חלש] | |
− | \ | + | כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$ |
+ | \end{cor} | ||
− | \ | + | \begin{proof} |
− | + | נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון. | |
− | + | \end{proof} | |
− | \ | + | \begin{remark}[גבול לא שומר על אי שיוויון חזק] |
+ | אם ניקח את $y_n=\frac{1}{n} $ ו- $x_n=0 $ אזי $x_n<y_n$ אבל שתי הסדרות מתכנסות ו\textbf{לא נכון} להגיד ש- $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} x_n < \displaystyle{\lim_{n\to \infty} y_n $ | ||
+ | |||
+ | \end{remark} | ||
+ | \begin{cor}[גבול סדרה הוא יחיד] | ||
+ | כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $ | ||
+ | \end{cor} | ||
+ | |||
+ | \begin{proof} | ||
+ | $x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $ | ||
+ | \end{proof} |
גרסה אחרונה מ־23:54, 6 באוקטובר 2014
\begin{thm} נניח $x_n\to L$ אזי \begin{enumerate} \item לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$
\item לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$ \end{enumerate} \end{thm}
\begin{proof}
אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\varepsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\varepsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.
\end{proof}
\begin{cor} אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $ \end{cor}
\begin{proof} אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:
$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_nn_2}: y_n>p $$ ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ . \end{proof} \begin{cor}[גבול שומר על אי שיוויון חלש] כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$ \end{cor} \begin{proof} נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון. \end{proof} \begin{remark}[גבול לא שומר על אי שיוויון חזק] אם ניקח את $y_n=\frac{1}{n} $ ו- $x_n=0 $ אזי $x_n<y_n$ אבל שתי הסדרות מתכנסות ו\textbf{לא נכון} להגיד ש- $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} x_n < \displaystyle{\lim_{n\to \infty} y_n $ \end{remark} \begin{cor}[גבול סדרה הוא יחיד] כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $ \end{cor} \begin{proof} $x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $ \end{proof}