הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11"
(←טורי חזקות) |
|||
(3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | {{ | + | {{המשך הגיע|תיאור=משפט 10|תאריך=15.5.11}} |
=התכנסות במ"ש של טורים {{הערה|(המשך)}}= | =התכנסות במ"ש של טורים {{הערה|(המשך)}}= | ||
שורה 19: | שורה 19: | ||
==משפט 1== | ==משפט 1== | ||
+ | [[קובץ:רדיוס התכנסות.png|400px|ימין]] | ||
יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות כלשהו ונגדיר <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי: | יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות כלשהו ונגדיר <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי: | ||
# אם x מקיים <math>|x-x_0|<R</math> אז הטור מתכנס בהחלט. | # אם x מקיים <math>|x-x_0|<R</math> אז הטור מתכנס בהחלט. | ||
שורה 28: | שורה 29: | ||
# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>|x-x_0|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left|\frac rP\right|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}</math>. {{משל}} | # נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>|x-x_0|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left|\frac rP\right|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}</math>. {{משל}} | ||
− | '''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע של <math>\mathbb R</math> | + | '''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע סופי של <math>\mathbb R</math>. כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>. |
'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>|x-x_0|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד. | '''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>|x-x_0|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד. |
גרסה אחרונה מ־05:26, 1 ביוני 2015
את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־17.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
התכנסות במ"ש של טורים (המשך)
דוגמה
נבנה פונקציה S רציפה ב- שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר בקטע עם המשך מחזורי בכל :
לכן וכן אם אז , ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר ואז וכן אם אז . נמשיך להגדיר ולכן ואם אז . לבסוף, נגדיר אזי S רציפה ב- (כי כל רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: ו- מתכנס).
הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה: שמתבדר (כי ), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם במ"ש ואם לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת שהגדרנו קודם: ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל שמתבדר בין ל-, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
הוכחה נכונה: נאמר ששתי נקודות שונות מקיימות את התכונה הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של (למשל הקטע , כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע וכו'). אם מקיימות זאת אזי . נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות מקיימות תכונה אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של . במקרה כזה . נשים לב שאם הנקודות מקיימות אז הן מקיימות , ובהכללה . כעת יהי נתון ונוכיח כי לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה כלשהי כך ש- לא קיים הגבול . נבחר אם מקיימות , ו- אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות מקיימות כי אם לא מקיימות אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של . ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב- הוא ולכן כן מקיימות . כמו כן ברור כי . מתקיים . כיוון ש- מקיימות מתקיימת לכל הטענה . עבור המחזור של הוא . אם אז הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן , ומכאן ש-. לפיכך לכל m נקבל . כאשר הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x.
טורי חזקות
הגדרה: טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה עבור לכל n. כאשר נקבל טור הנדסי.
דוגמה: הוא טור חזקות הנדסי. אם נציב נקבל , ולכן הטור מתכנס אם"ם , וסכומו הוא .
משפט 1
יהי טור חזקות כלשהו ונגדיר (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:
- אם x מקיים אז הטור מתכנס בהחלט.
- אם x מקיים אז הטור מתבדר.
- אם אז הטור מתכנס במ"ש בקטע .
הוכחה
- יהי x כך ש- ונבחר P כך ש-. מכאן נובע ש- ולפיכך קיים כך ש-. מכאן נובע כי ולכן . מכאן שהטור הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x.
- נתון ונרשום . לפי הנתון ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש-. עבור אותם n-ים מתקיים ולכן . לפיכך מתבדר (כי האיבר הכללי לא שואף ל-0).
- נבחר P כך ש-. כמו בסעיף 1, קיים כך שלכל מתקיים ולכן אם אז . קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור וכיוון שסכום החסמים הוא טור הנדסי מתכנס (כי ) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש- מתכנס במ"ש ב-.
הערה: באופן כללי, עבור , . כאשר מתקיים , ואז הטור מתכנס בהחלט לכל , ובמ"ש על כל תת קטע סופי של . כאשר מתקיים ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר .
הערה: לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים . מקרה זה יש לבדוק בנפרד.