הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "=ערך מוחלט= הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא: ::<ma...")
 
(←‏תכונות של הערך המוחלט)
 
(10 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
=ערך מוחלט=
+
[[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי השיעור]]
 +
 
 +
=ערך מוחלט ואי שיוויונים=
  
 
הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:
 
הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:
שורה 22: שורה 24:
 
*<math>|x\cdot y| = |x|\cdot |y|</math>
 
*<math>|x\cdot y| = |x|\cdot |y|</math>
  
 +
 +
*<math>(|x|)^2=x^2</math>
  
  
שורה 42: שורה 46:
 
*נניח <math>L\geq 0</math> אזי  
 
*נניח <math>L\geq 0</math> אזי  
 
**<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math>
 
**<math>|x|\leq L</math> אם ורק אם <math>-L\leq x\leq L</math>
 +
**<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math>
  
 +
==תכונות של אי שיוויונים==
  
−
**<math>|x|\geq L</math> אם ורק אם <math>x\geq L</math> '''או''' <math>x\leq -L</math>
+
*<math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>-x\geq -y</math>
 +
 
 +
 
 +
*נניח <math>0\leq x,y</math> אזי <math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>x^2\leq y^2</math>
 +
 
 +
 
 +
*נניח <math>0< x,y</math> אזי <math>x\leq y</math> אם ורק אם <math>\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}</math>
 +
 
 +
 
 +
==תרגילים==
 +
 
 +
'''תרגיל''': הוכח את אי שיוויון המשולש
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': הוכח כי <math>||x|-|y||\leq |x-y|</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': יהיו <math>x,y,z\in\mathbb{R}</math> מספרים ממשיים. יהי <math>0<\epsilon\in\mathbb{R} </math> מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:
 +
 
 +
::<math>|x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2}</math>
 +
 
 +
 
 +
הוכח כי <math>|x-z|\leq \epsilon</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
 +
::<math>|2x-1|>|x-1|</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
 +
::<math>(x-a)(x-b)>0</math>
 +
 
 +
(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי <math>f(n)=2n</math> ואם n אינו זוגי אזי <math>f(n)=\frac{n}{2}</math>
 +
 
 +
האם יש פתרון למשוואה <math>f(n)=7</math>?
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
 +
::<math>|x^2-5x+4|>|x^2-5x|</math>
 +
 
 +
=אי שיוויונים מעריכיים=
 +
 
 +
נניח <math>a>1</math>, אזי
 +
::<math>a^x\leq a^y</math> אם ורק אם <math>x\leq y</math>
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': נניח כי <math>a<1</math> הוכח כי:
 +
 
 +
::<math>a^x\leq a^y</math> אם ורק אם <math>x\geq y</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': מצא לאילו ערכים של <math>a,x</math> מתקיים אי השיוויון הבא:
 +
::<math>a^x<1</math>
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
 +
 
 +
::<math>|x-1|^{x^2+2x} < \frac{1}{|x-1|}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': הראה כי
 +
 
 +
אם <math>a>1</math> אזי
 +
::<math>\log_a(x)\leq\log_a(y)</math> אם ורק אם <math>0<x\leq y</math>
 +
 
 +
 
 +
ואם <math>a<1</math> אזי
 +
::<math>\log_a(x)\leq\log_a(y)</math> אם ורק אם <math>0<y\leq x</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''תרגיל''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
 +
 
 +
::<math>\log_3(x)>log_9(x+1)</math>

גרסה אחרונה מ־10:49, 29 ביוני 2015

חזרה למערכי השיעור

ערך מוחלט ואי שיוויונים

הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:

|7|=|-7|=7

ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:

|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}


תכונות של הערך המוחלט

  • לכל x מתקיים |x|\geq 0


  • |x|=0 אם ורק אם x=0


  • |x\cdot y| = |x|\cdot |y|


  • (|x|)^2=x^2


  • x\leq |x|


  • אי שיוויון המשולש: |x+y|\leq |x|+|y|


  • ||x|-|y||\leq |x-y|


  • |x-y| הוא המרחק בין x לבין y


  • נניח L\geq 0 אזי
    • |x|\leq L אם ורק אם -L\leq x\leq L
    • |x|\geq L אם ורק אם x\geq L או x\leq -L

תכונות של אי שיוויונים

  • x\leq y אם ורק אם -x\geq -y


  • נניח 0\leq x,y אזי x\leq y אם ורק אם x^2\leq y^2


  • נניח 0< x,y אזי x\leq y אם ורק אם \frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}


תרגילים

תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש


תרגיל: הוכח כי ||x|-|y||\leq |x-y|


תרגיל: יהיו x,y,z\in\mathbb{R} מספרים ממשיים. יהי 0<\epsilon\in\mathbb{R} מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:

|x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2}


הוכח כי |x-z|\leq \epsilon


תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

|2x-1|>|x-1|


תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

(x-a)(x-b)>0

(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)


תרגיל: נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי f(n)=2n ואם n אינו זוגי אזי f(n)=\frac{n}{2}

האם יש פתרון למשוואה f(n)=7?


תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

|x^2-5x+4|>|x^2-5x|

אי שיוויונים מעריכיים

נניח a>1, אזי

a^x\leq a^y אם ורק אם x\leq y


תרגיל: נניח כי a<1 הוכח כי:

a^x\leq a^y אם ורק אם x\geq y


תרגיל: מצא לאילו ערכים של a,x מתקיים אי השיוויון הבא:

a^x<1


תרגיל: מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

|x-1|^{x^2+2x} < \frac{1}{|x-1|}


תרגיל: הראה כי

אם a>1 אזי

\log_a(x)\leq\log_a(y) אם ורק אם 0<x\leq y


ואם a<1 אזי

\log_a(x)\leq\log_a(y) אם ורק אם 0<y\leq x


תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

\log_3(x)>log_9(x+1)
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למחלקת_מתמטיקה/מערכי_שיעור/2&oldid=61496