הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לגראנז' (אינפי)"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן " ==משפט לגראנז'== תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
==משפט לגראנז'== | ==משפט לגראנז'== | ||
− | תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>. | + | תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> . |
− | + | ||
− | + | ||
+ | אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> . | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
+ | נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math>: | ||
− | + | :<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)</math> | |
+ | נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה. | ||
+ | :<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)-f(a)</math> | ||
− | + | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> מקיימת את שאר תנאי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל: | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | :<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | ||
כלומר | כלומר | ||
+ | :<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | ||
− | + | כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | * [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] | + | ==ראו גם== |
− | * [[משפט רול]] | + | *[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] |
+ | *[[משפט רול]] | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־00:12, 27 בינואר 2016
משפט לגראנז'
תהי פונקציה רציפה בקטע וגזירה בקטע .
אזי קיימת נקודה עבורה מתקיים .
הוכחה
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות :
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
קל לראות כי ו- מקיימת את שאר תנאי משפט רול. לכן קיימת נקודה עבורה מתקיים . אבל:
כלומר
כפי שרצינו.