הבדלים בין גרסאות בדף "טור מתכנס בהחלט"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "בחזרה למשפטים באינפי ==משפט== טור המתכנס בהחלט - מתכנס ===הוכחה=== יהי טור <math>...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
||
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
==משפט== | ==משפט== | ||
− | |||
טור המתכנס בהחלט - מתכנס | טור המתכנס בהחלט - מתכנס | ||
שורה 8: | שורה 5: | ||
יהי טור <math>\sum a_n</math> המתכנס בהחלט. נסמן: | יהי טור <math>\sum a_n</math> המתכנס בהחלט. נסמן: | ||
− | + | :<math>p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}</math> | |
− | + | :<math>q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2}</math> | |
קל לראות כי: | קל לראות כי: | ||
− | + | :<math>p_n+q_n=|a_n|</math> | |
− | + | :<math>p_n-q_n=a_n</math> | |
− | + | :<math>0\leq p_n,q_n</math> | |
− | + | כיון שהטור <math>\sum |a_n|</math> מתכנס לפי הנתון, וכיון ש- <math>p_n,q_n\le |a_n|</math> , | |
− | לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים <math>\sum p_n, \sum q_n</math> מתכנסים. | + | לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים <math>\sum p_n,\sum q_n</math> מתכנסים. |
הפרש טורים מתכנסים הוא מתכנס, ולכן גם <math>\sum p_n-q_n=\sum a_n</math> מתכנס. | הפרש טורים מתכנסים הוא מתכנס, ולכן גם <math>\sum p_n-q_n=\sum a_n</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה אחרונה מ־10:12, 8 בפברואר 2016
משפט
טור המתכנס בהחלט - מתכנס
הוכחה
יהי טור המתכנס בהחלט. נסמן:
קל לראות כי:
כיון שהטור מתכנס לפי הנתון, וכיון ש- ,
לפי מבחן ההשוואה הטורים החיוביים מתכנסים.
הפרש טורים מתכנסים הוא מתכנס, ולכן גם מתכנס.