הבדלים בין גרסאות בדף "משפט המימדים"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
=משפט המימדים= | =משפט המימדים= | ||
− | יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי: | + | יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תתי-מרחב של <math>V</math> . אזי: |
− | :<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math> | + | :<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math> |
=הוכחה= | =הוכחה= | ||
+ | נסמן את הבסיס ל- <math>U\cap W</math> ב- <math>\{v_1,v_2,\dots,v_k\}</math> . | ||
− | + | כיון ש- <math>U\cap W\subseteq U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- <math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל- <math>W</math> . | |
− | + | נסמן את הבסיסים ב- <math>\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}</math> . | |
− | נסמן את הבסיסים ב <math>\{v_1, | + | נסמן את איחוד הבסיסים ב- <math>B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל- <math>U+W</math> . |
− | + | ===<math>B</math> פורש את <math>U+W</math>=== | |
− | + | יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | יהי <math>u+w\in U+W</math>. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+ | + | |
ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math> | ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math> | ||
− | ===B בת"ל=== | + | ===<math>B</math> בת"ל=== |
− | + | ||
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B: | ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B: | ||
גרסה מ־18:02, 27 בפברואר 2016
חזרה למשפטים בלינארית
תוכן עניינים
משפט המימדים
יהי מ"ו נוצר סופית ויהיו תתי-מרחב של . אזי:
הוכחה
נסמן את הבסיס ל- ב- .
כיון ש- , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- ובאופן דומה לבסיס ל- .
נסמן את הבסיסים ב- .
נסמן את איחוד הבסיסים ב- , ונוכיח כי הנו בסיס ל- .
פורש את
יהי . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, .
ברור אם כך כי
בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
- .
נסמן
ברור משני אגפי המשוואה כי ולכן
לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, .
כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:
ולכן .
כעת קיבלנו כי ,
אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.
ספירת מימדים וסיכום
מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: