הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"
מ |
(←דוגמאות) |
||
(8 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | {{ | + | {{המשך הגיע|תיאור=משפט 10|תאריך=12.4.11}} |
=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}= | =אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}= | ||
− | '''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש | + | '''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>, ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה. |
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית. | '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית. | ||
שורה 8: | שורה 8: | ||
'''תזכורת:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות: | '''תזכורת:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות: | ||
* שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים. | * שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים. | ||
− | *: עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת. | + | *: עפ"י משפט 2, <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת. |
− | * נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים | + | * נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>. |
− | *: ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה. | + | *: ובכן עפ"י משפט 2, <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה. |
=אינטגרל לא אמיתי, סוג II= | =אינטגרל לא אמיתי, סוג II= | ||
שורה 18: | שורה 18: | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>. | # נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>. | ||
− | # <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> | + | # <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math>, ובפרט מתכנס. |
− | # דרך | + | # דרך כתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2</math>. |
---- | ---- | ||
+ | |||
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה. | לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה. | ||
− | '''הנחה קבועה:''' | + | '''הנחה קבועה:''' למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math>. |
==משפט 1== | ==משפט 1== | ||
שורה 32: | שורה 33: | ||
==משפט 2== | ==משפט 2== | ||
עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>. | עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>. | ||
+ | |||
==משפט 3== | ==משפט 3== | ||
− | תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>. | + | תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>. |
− | == | + | |
− | + | ==משפט 4== | |
− | ==משפט | + | אם <math>f(x)\ge0</math> אז האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>. |
− | נניח שב-<math>(a,b]</math> | + | |
+ | ==משפט 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== | ||
+ | נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים <math>0\le f(x)\le g(x)</math>. | ||
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | * אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר. | * אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר. | ||
+ | |||
+ | {{המשך סיכום|תאריך=3.5.11}} | ||
+ | |||
+ | ==משפט 6 {{הערה|(מבחן ההשוואה הגבולי)}}== | ||
+ | נניח ש-<math>f(x),g(x)\ge0</math> ונניח שקיים ממש <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
+ | ===מסקנה=== | ||
+ | אם בפרט <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}>0</math> אז <math>\int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f</math> מתכנסים ומתבדרים יחדיו. | ||
+ | |||
+ | ==משפט 7== | ||
+ | האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math> | ||
+ | |||
+ | ==משפט 8== | ||
+ | אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס בהחלט אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה <math>[a,b)</math> (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים <math>\int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f</math>). כמו כן, אם f מוגדרת ב-<math>(a,b)</math> ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> עבור <math>c\in(a,b)</math> כלשהו ונאמר ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f</math> מתכנסים. | ||
+ | |||
+ | אם f מוגדרת ב-<math>[a,b]</math> למעט איזו נקודת בייניים <math>c\in(a,b)</math> שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים. |
גרסה אחרונה מ־11:04, 6 באפריל 2016
את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג . כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה: , ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בכל . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי . למשל, אם f רציפה למקוטעין ב- אז היא אינטגרבילית מקומית.
תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו להיות בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש- מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
- שני האינטגרלים מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים מתכנסים.
- עפ"י משפט 2, מתכנס אם"ם מתכנס. באותו אופן מתכנס אם"ם מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
- נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים אז הם שווים ל-.
- ובכן עפ"י משפט 2, וגם . נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
אינטגרל לא אמיתי, סוג II
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש- f אינטגרבילית בקטע (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-). לכן נגדיר אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע . אם אין גבול אומרים ש- מתבדר.
דוגמאות
- נקח ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי . עבור נקבל והאינטגרל מתבדר. עבור נקבל .
- . נציב וכן לקבל , ובפרט מתכנס.
- דרך כתיבה מקוצרת: .
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-.
משפט 1
אם f ו-g אינטגרביליות ב- ואם c קבוע אז אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
משפט 2
עבור f אינטגרבילית בקטע אם"ם היא אינטגרבילית בקטע ואם כן .
משפט 3
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי קיים אם"ם f חסומה בקטע .
משפט 4
אם אז האינטגרל מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים כאשר .
משפט 5 (מבחן ההשוואה)
נניח שב- מתקיים .
- אם מתכנס אז מתכנס.
- אם מתבדר אז מתבדר.
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש- ונניח שקיים ממש . אם מתכנס אז מתכנס.
מסקנה
אם בפרט אז מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
משפט 7
האינטגרל מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי:
משפט 8
אם מתכנס בהחלט אז מתכנס.
באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים ). כמו כן, אם f מוגדרת ב- ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים עבור כלשהו ונאמר ש- מתכנס אם"ם שני האינטגרלים מתכנסים.
אם f מוגדרת ב- למעט איזו נקודת בייניים שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.