הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11"
(←תכונות של הדטרמיננטה) |
|||
שורה 41: | שורה 41: | ||
1. כפליות <math>|AB|=|A||B|</math>. | 1. כפליות <math>|AB|=|A||B|</math>. | ||
+ | |||
2. בפרט <math>|A^k|=|A|^k</math>. | 2. בפרט <math>|A^k|=|A|^k</math>. | ||
+ | |||
3. <math>|A^t|=|A|</math>. | 3. <math>|A^t|=|A|</math>. | ||
+ | |||
4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?). | 4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?). | ||
+ | |||
5. אם <math>A</math> הפיכה אז <math>|A^{-1}|=|A|^{-1}</math>. | 5. אם <math>A</math> הפיכה אז <math>|A^{-1}|=|A|^{-1}</math>. | ||
+ | |||
6. <math>A</math> הפיכה אם"ם <math>|A|\neq 0</math>. | 6. <math>A</math> הפיכה אם"ם <math>|A|\neq 0</math>. | ||
+ | |||
למשל המטריצה <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס. | למשל המטריצה <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס. |
גרסה מ־07:11, 3 באוגוסט 2016
דטרמיננטות
הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית היא סקלר המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.
חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות
- הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 היא הערך היחיד במטריצה .
- הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}
היא .
למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .
חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)
סימון עבור מטריצה נסמן ב את המטריצה מגודל המתקבלת מ ע"י מחיקת השורה ה והעמודה ה. זה נקרא המינור ה של המטריצה.
דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
למשל
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}
אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה:
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה:
לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
נפתח לפי השורה הראשונה:
נפתח גם לפי העמודה השנייה:
תכונות של הדטרמיננטה
1. כפליות .
2. בפרט .
3. .
4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).
5. אם הפיכה אז .
6. הפיכה אם"ם .
למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.
שימו לב שאין בהכרח קשר בין לבין . (דוגמא?)
תרגיל
נתונות מטריצות כך ש . חשבו את .
פתרון