הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לגראנז' (אינפי)"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> . | תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> . | ||
− | אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\ | + | אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> . |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math>: | + | נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math> : |
− | :<math>y | + | :<math>y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math> |
− | נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה. | + | נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה. |
− | :<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} | + | :<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math> |
+ | <math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע. | ||
− | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> | + | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> . |
− | :<math> | + | אבל: |
+ | :<math>g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math> | ||
כלומר | כלומר | ||
:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | :<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> |
גרסה מ־15:18, 27 בספטמבר 2016
משפט לגראנז'
תהי פונקציה רציפה בקטע וגזירה בקטע .
אזי קיימת נקודה עבורה מתקיים .
הוכחה
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות :
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
רציפה ב- כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- כהפרש פונקציות גזירות בקטע.
קל לראות כי ו- . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה עבורה מתקיים .
אבל:
כלומר
כפי שרצינו.