הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לגראנז' (אינפי)"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן " ==משפט לגראנז'== תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
==משפט לגראנז'== | ==משפט לגראנז'== | ||
− | תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>. | + | תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> . |
− | + | ||
− | + | ||
+ | אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> . | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
+ | נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math> : | ||
− | + | :<math>y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math> | |
+ | נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה. | ||
+ | :<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math> | ||
+ | <math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע. | ||
− | + | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> . | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | אבל: | ||
+ | :<math>g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math> | ||
כלומר | כלומר | ||
+ | :<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | ||
− | + | כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | * [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] | + | ==ראו גם== |
− | * [[משפט רול]] | + | *[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] |
+ | *[[משפט רול]] | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה אחרונה מ־15:19, 27 בספטמבר 2016
משפט לגראנז'
תהי פונקציה רציפה בקטע וגזירה בקטע .
אזי קיימת נקודה עבורה מתקיים .
הוכחה
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות :
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
רציפה ב- כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- כהפרש פונקציות גזירות בקטע.
קל לראות כי . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה עבורה מתקיים .
אבל:
כלומר
כפי שרצינו.