הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרציה בחלקים"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 7: | שורה 7: | ||
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל: | הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל: | ||
:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math> | :<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math> | ||
+ | |||
+ | הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור <math>f,g</math> בעלות נגזרות רציפות. | ||
+ | |||
+ | (אחרת, אמנם יש קדומה ל- <math>f'\cdot g+g'\cdot f</math> , אבל לא בהכרח ל- <math>f'\cdot g</math> ו- <math>g'\cdot f</math> בנפרד.) | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד. | א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד. | ||
− | <math>\int | + | <math>\int x\cos(x)dx=?</math> |
נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math> | נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math> | ||
שורה 19: | שורה 23: | ||
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים | לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים | ||
− | :<math>\int | + | :<math>\int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int\sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+C</math> |
− | ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם | + | ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה. |
− | <math>\int | + | <math>\int e^x\cos(x)dx=?</math> |
− | נסמן <math>I=\int | + | נסמן <math>I=\int e^x\cos(x)dx</math> |
לכן | לכן | ||
− | :<math>I=e^x | + | :<math>I=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx=e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math> |
ולכן | ולכן | ||
− | :<math>2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)</math> | + | :<math>2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)</math> |
ומכאן יוצא | ומכאן יוצא | ||
− | :<math>\int | + | :<math>\int e^x\cos(x)dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math> |
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים. | ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים. | ||
− | <math>\int | + | <math>\int\sqrt{a^2-x^2}dx=?</math> |
נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math> | נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math> | ||
− | ולכן <math>f=x\ ,\ g'=\frac{ | + | ולכן <math>f=x\ ,\ g'=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math> |
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים: | נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים: | ||
− | :<math>\int | + | :<math>\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math> |
− | :<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int | + | :<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math> |
− | :<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int | + | :<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=</math> |
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת | ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת | ||
− | :<math>2\int | + | :<math>2\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}</math> |
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]]. | כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]]. |
גרסה אחרונה מ־11:11, 3 בנובמבר 2016
הגדרה
אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור בעלות נגזרות רציפות.
(אחרת, אמנם יש קדומה ל- , אבל לא בהכרח ל- ו- בנפרד.)
דוגמאות
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
נסמן
ולכן
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
ב. חזרה למקורות - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.
נסמן
לכן
ולכן
ומכאן יוצא
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע כנגזרת של הפונקציה ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
נסמן
ולכן
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.