הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תש"נ"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) (←שאלה 6) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות. | נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in[0,2]:h(x)=x\cdot f(x)</math> . <math>h</math> רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות. | ||
− | <math>h(2)=2f(2)=2\ | + | <math>h(2)=2f(2)=2\cdot1=2</math> ואילו <math>h(0)=0f(0)=0</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים <math>\exists x_0\in[0,2]:h(x)=1</math> . |
− | בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . | + | בנקודה זו מתקיים הדרוש - <math>h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0}</math> . <math>\blacksquare</math> |
==שאלה 3== | ==שאלה 3== | ||
− | א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\ | + | א) משפט טיילור - תהי <math>f</math> פונקציה מוגדרת וגזירה <math>n+1</math> פעמים בסביבה <math>S</math> של <math>x_0</math> . אז <math>\forall x\in S:f(x)=P_n(x)+R_n(x)</math> , כאשר <math>P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k</math> . |
ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math> . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת: | ב)תהי <math>f(x)=x^3-4x^2+2x</math> . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת: | ||
שורה 22: | שורה 22: | ||
<math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math> | <math>f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0</math> | ||
− | <math>P_5(x)=\sum_{k=0}^ | + | <math>\begin{align}P_5(x)&=\sum_{k=0}^5\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f^{(3)}(2)}{6}(x-2)^3+0+0\\&=2^3-4\cdot4+4+(3\cdot4-8\cdot2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3\\&=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3\end{align}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. | ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו. |
גרסה אחרונה מ־00:57, 9 בפברואר 2017
(המבחן )
שאלה 2
נגדיר פונקציה על-ידי . רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.
ואילו ולכן לפי משפט ערך הביניים .
בנקודה זו מתקיים הדרוש - .
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקציה מוגדרת וגזירה פעמים בסביבה של . אז , כאשר .
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -
ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
מתקיים ולכן השארית היא , כצפוי.
שאלה 4
הפונקציה בכל מחזור תעלה בדיוק ב- , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב- בכל פעם של קטע בודד באורך שלה. (ראו הגרף)
נימוק פורמלי: .
גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
נגזור:
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf
שאלה 5
א) סדרה ממשית תקרא סדרת קושי אם("ם):
ב) ניקח את הסדרה שהאיבר ה- -י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- של (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל , אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.
ג) נשים לב שהטור
שאלה 6
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא ולכן האינטגרל הוא , ועם תנאי ההתחלה נקבל .
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של בתחום .
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. ולכן ההעתק המקסימלי הוא .