הבדלים בין גרסאות בדף "משפט המימדים"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
(←B בת"ל) |
||
שורה 26: | שורה 26: | ||
− | נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...- | + | נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mw_m</math> |
גרסה מ־14:09, 4 במרץ 2017
חזרה למשפטים בלינארית
תוכן עניינים
משפט המימדים
יהי מ"ו נוצר סופית ויהיו תתי-מרחב של . אזי:
הוכחה
נסמן את הבסיס ל- ב- .
כיון ש- , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- ובאופן דומה לבסיס ל- .
נסמן את הבסיסים ב- .
נסמן את איחוד הבסיסים ב- , ונוכיח כי הנו בסיס ל- .
פורש את
יהי . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, .
ברור אם כך כי
בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
- .
נסמן
ברור משני אגפי המשוואה כי ולכן
לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, .
כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:
ולכן .
כעת קיבלנו כי ,
אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.
ספירת מימדים וסיכום
מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: